Bewijs Meetkundige Plaats

Een meetkundige figuur heet meetkundige plaats van punten met een bepaalde eigenschap indien:
† alle punten van de figuur die bedoelde eigenschap hebben;
† alle punten met de eigenschap tot de figuur behoren.

Een bewijs van een meetkundige plaats bestaat uit twee deelbewijzen, twee kanten op. Schrijf die deelbewijzen als implicatie en geef voor beide het bewijs van die implicatie.

top

Te bewijzen:

Voor ieder punt Q op de omgeschreven cirkel van gelijkzijdige driehoek ABC ligt punt R van gelijkzijdige driehoek BQR op de cirkel door de punten B, C en punt Z, het zwaartepunt van ∆ABC.

Gegeven is:

• gelijkzijdige driehoek ABC met zwaartepunt Z.

Bewijs:

1. Een gelijkzijdige driehoek heeft drie even grote hoeken: ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
2. Omdat driehoek ABC gelijkzijdig is, is punt Z tevens het snijpunt van de middelloodlijnen, de hoogtelijnen en de deellijnen (eigenschap).
3. Omdat driehoek BCZ gelijkbenig is, zijn de basishoeken ∠BCZ = ∠CBZ = 30° en dus is ∠BZC = 120°.
4. Omdat ∠BZC = 120° liggen alle punten R met ∠BRC = 60° volgens de stelling van de koordenvierhoek op de cirkel die door de punten B, Z en C gaat.
5. Iedere driehoek BQR met punt Q op lijn RC met |QR| = |BR| is gelijkzijdig omdat ∠BRQ = 60°
6. Conclusie: als punt Q op de omgeschreven cirkel van gelijkzijdige driehoek ABC ligt,
   dan is er een gelijkzijdige driehoek BQR waarvan punt R op de cirkel door B, C en Z gaat.

Te bewijzen:

Voor ieder punt R van gelijkzijdige driehoek BQR op de cirkel door de punten B, C en A' ligt punt Q op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

Gegeven is:

• gelijkzijdige driehoek ABC en punt A' het beeld van A in zijde BC

Bewijs

1. Als punt Q samenvalt met punt C, dan is gelijkzijdige driehoek BCQ gespiegeld in lijn BC en valt punt R samen met punt A'.
   dus maakt punt A' deel uit van de meetkundige plaats.
2. Als punt Q samenvalt met punt A, dan valt gelijkzijdige driehoek ABC samen met gelijkzijdige driehoek BCQ en valt punt R samen met punt C,
   dus maakt punt C deel uit van de meetkundige plaats.
3. Ook bestaat er een gelijkzijdige driehoek BZQ
   dus maakt ook punt Z deel uit van de meetkundige plaats.
4. Als punt Q samenvalt met punt B dan is |BQ| = 0 en dan ook |RB| = 0
   dus ook punt B maakt deel uit van de meetkundige plaats.
5. Een gelijkzijdige driehoek heeft drie even grote hoeken: ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
6. Omdat driehoek ABC gelijkzijdig is, is punt Z tevens het snijpunt van de middelloodlijnen, de hoogtelijnen en de deellijnen (eigenschap).
7. Omdat driehoek BCZ gelijkbenig is, zijn de basishoeken ∠BCZ = ∠CBZ = 30° en dus is ∠BZC = 120°.
8. Omdat ∠BZC = 120° is iedere vierhoek BRCZ met ∠BRC = 60° een koordenvierhoek
   en dus liggen alle punten R op een cirkel door de punten B, C en Z.
9. Omdat driehoek BRQ gelijkzijdig is, is ∠BRQ = 60°.
10. Omdat ∠BRC = 60° en omdat ∠BRQ = 60°
    daarom ligt punt Q op lijn RC.
11. Omdat ∠BQR + ∠BQS = 180° en ∠BQR = 60°
    daarom ∠BQC = 120°.
12. Omdat ∠BQC = 120° en ∠BAC = 60°
    daarom is vierhoek ABQC een koordenvierhoek.
    en dus ligt punt Q op de omgeschreven cirkel van ABC
13. Conclusie: als punt R van gelijkzijdige driehoek BQR op de cirkel door de punten B, C en A' ligt, dan ligt punt Q op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

Conclusie

De meetkundige plaats van de punten R van gelijkzijdige driehoek BRQ met punt Q op de omgeschreven cirkel van gelijkzijdige driehoek ABC is een cirkel.

☐

top