|
| transcriptie
| uitleg bij de transcriptie
| extra uitleg
|
1
|
Ick kome weder totter eerste instrument / hier boven beschreven / dat is / ick verdencke wederom / dat in eenig Vlack de liniael AB om het vaste punt A beweecht wort / en dat aen dese in B een ander liniael BED vast gemaeckt is / dewelcke om het selve in 't voorsz vlack even-eens beweegt kan worden. Hier na nemende wyders in BD eenig punt E, naer gevallen / tussen B en D, of oock in deselve buyten D verlengt zijnde ; soo zij / als vooren / BD ghelijck AB: Dan seg ick / soo men 't punt D beweegt langs de rechte AD, dat het punt E door die beweeging op 't selve vlack den omtreck van een ellipsis beschrijven sal / wiens centrum is A, en dwerssche asse gelijck aan 't dobbel van AB, BE, en rechte asse gelijck aen 't dobbel van DE het welck dan te bewijsen is.
|
- Gegeven is:
- vast punt A
- punt B op vaste afstand van punt A
- punt D op vaste afstand van punt B met AB = BD
- de meetkundige plaats van punt D is een rechte lijn door punt A
- punt E op lijnstuk BD
- Te bewijzen:
- de meetkundige plaats van punt E is een elllips
- het centrum van de ellips is punt A
- de lengte van de hoofdas is het dubbele van AB + BE
- de lengte van de nevenas is het dubbele van DE
|
Algemener gezegd: de lengte van de nevenas is het dubbele van AB − BE,
waarbij afhankelijk van de configuratie de lengte van BE positief dan wel negatief is. (zie stap 18)
Rechte lijn AD wordt niet als zodanig benoemd.
Met AB = BD wordt op deze website bedoeld |AB| = |BD|, de lengte van beide lijnstukken zijn even lang.
|
2
|
Want aengesien AB beweeghlijck gestelt wort om A, soo is openbaer / indien men eenig punt neemt in AB, of in deselve verlengt / waer 't valt /
het welck men met AB om A gelijck verdenckt beweegt te worden / dat dan 't selve een Circkels omtreck beschrijven sal.
|
De meetkundige plaats van ieder punt op lijnstuk AB is een cirkel.
|
|
3
|
Hierom dan ghenomen hebbende het punt F, sulcx dat BF soo groot zij als BE, soo laettet selve beschrijven de Circkels omtreck FGP. Wyders soo zy de rechte GAP rechthoeckig op AD, snijdende den omtreck deses circkels in G en P,
|
Punt F op lijn AB met BE = BF.
De meetkundige plaats van punt F is een cirkel.
Punten G en P liggen op de lijn loodrecht op lijn AD
en op de cirkel om punt A door punt F,
|
zodat AG = AP = AF.
|
4
|
Want door dien BF gelijck genomen is aen BE, en AB gelijck BD: soo sal oock de rest AF aen de rest DE gelijck zijn / en alsoo GAP gelijck het dobbel van DE.
|
Omdat AG = AF en AF = AB −AF en AB =BD en BE = BF
daarom GA = BD − BE
dus GA = DE.
Conclusie is dat GAP = 2 × (BD − BE)
oftewel GAP = 2 × DE.
|
In stap 18 wordt duidelijk waarom de eerste conclusie algemeen is en de tweede specifiek voor deze configuratie.
|
5
|
Hier na soo zij AB verlengt tot I, tot dat BI zo gelijck BE en beschrijft uyt A in de wijtte AI de circkels omtreck LIK, snijdende AD in L en K: en sal alsoo LK de dwersse asse der Ellipsis wesen.
|
Punt I in verlengde op lijn AB met BE = BI.
De meetkundige plaats van punt I is een cirkel.
Punten K en L liggen op de lijn loodrecht op lijn AD
en op de cirkel om punt A door punt I,
|
zodat BE = BF = BI.
zodat AI = AK = AL.
|
6
|
Aengesien AI gelijck is aen AB, BE, en alsoo LAK gelijck aen 't dobbel van AB, BE.
|
Omdat AK = AL = AB + BE,
daarom LAK = 2 × (AB + BE).
|
|
7
|
Want treckende of verlengende EF, tot datse AG snijt in M: soo sal deselve a even-wydig zijn met AD, en recht-hoeckig op AG.
|
Omdat ,
daarom is in ∆ABD volgens de tweede propositie uit het zesde boek a EF evenwijdig aan AD
en omdat AG loodrecht staat op AD,
daarom staat ook EF loodrecht op AG.
|
a:
|
8
|
Insgelijcx treckende of verlengende IE, tot datse AD snijde in N: soo sal oock dese perpendiculaer zijn op AD.
|
Van Schooten geeft geen bewijs voor deze bewering.
|
Volgens de omgekeerde stelling van Thales (als punt E op de cirkel met middellijn FBI ligt, dan is ∆FEI een rechthoekige driehoek.
Daarom staat IE loodrecht op FE en dus ook loodrecht op AD.
|
9
|
Eyndelijck treckende FO even-wijdig met INE, snijdende AD in O
|
Punt O is het snijpunt van AD met de lijn door F evenwijdig aan INE.
|
|
10
|
soo laet tot de assen LK, GP gevonden worden de derde even-reednige KQ.
|
Van Schooten bepaalde hier de derde evenredige van LK en GP:
|
In de vergelijking
is x de middelevenredige
en is b de derde evenredige.
Apollonius bewees in propositie 15 dat de lengte van die latus rectum de derde evenredige (third proportional) is.
Dat is de reden waarom Van Schooten op deze plaats in het bewijs lijnstuk KQ opnam.
In de volgende alinea verwees Van Schooten naar propositie 21 en daar had hij die latus rectum nodig.
|
11
|
Aengesien dan b wegens de gelijckformicheyt der driehoecken AFO en AIN, FO is tot FA, als NI tot IA;
|
Omdat ∆AOF en ∆ANI even grote hoeken hebben,
daarom zijn ze gelijkvormig zijn
en dus zijn volgens de vierde propositie uit het zesde boek b
alle overeenkomstige zijden met dezelfde factor vermenigvuldigd:
|
b:
|
12
|
soo sal mede overandert c FO tot NI zijn/ als FA tot IA,
ofte het d dobbel van FA, dat is / GP, tot het dobbel van IA, dat is / LK;
|
Verwezen wordt naar de 15de en 16de propositie uit het vijfde boek van Euclides.
|
c:
d:
|
13
|
en dienvolgende oock e het quadraet FO tottet quadraet NI, gelijck het quadraet GP tottet quadraet LK. En nadien / wegens de proportionale KQ, GP, en LK, f 't quadraet GP is tottet quadraet LK, als KQ tot LK:
so sal mede 'tquadraet FO, dat is / 't quadraet NE, zijn tottet quadraet NI, als KQ tot LK.
|
Omdat (stap 12)
daarom
.
Omdat
(stap 10)
daarom
.
Omdat FO = NE
daarom
.
|
Omdat ON evenwijdig is aan EF, daarom is vierhoek ONEF een parallellogram en dus is FO = NE.
e:
f:
|
14
|
Nu is g 't quadraet NI gelijck 't vierkant LNK. Waerom dan oock het quadraet NE tottet vierkant LNK zijn sal / als KQ de rechte zijde des figuers / tot LK, de dwersche syde.
|
Punt Y in het verlengde van NI met NI = NY en AI = AY.
De punten I, Y, K en L liggen op één cirkel.
Daarom is volgende de 35ste propositie uit het derde boek g LN × NK = NI × NY = NI².
Omdat
(stap 13)
daarom
.
|
g:
|
15
|
En blijckt also h dattet punt E, in den omtreck van een Ellipsis valt / wiens uytterste diameters of assen zijn LK en PG; en welckers voornaemste rechte syde / dat is / die tot de asse LK behoort / is KQ.
"voornaemste rechte syde" is een heel letterlijke vertaling van "latus rectum".
In de kegelsneden is dat een heel bijzonder lijnstuk. Het is beslist niet een van de assen, diameters, van de ellips.
|
Van Schooten verwijst naar propositie 21 h van Apollonius.
Daar staat dat in een ellips (en ook een hyperbool) geldt dat
en dat die constante het quotiënt is van de latus rectum, KQ, en de lange diameter, LK, oftewel:
.
Omdat deze betrekking in de vorige stap bewezen is, daarom is de meetkundige plaats van punt E een ellips.
|
In moderne algebra met x en y staat er dat y² iets van x² is,
waarbij x = AN en y = EN:
|
16
|
Nu aengesien dit alsoo in't oneyndig plaets heeft ontrent alle andere rechte NE, die van de asse LK in tween gelijck gedeelt worden / in yder ander gestalt des Instruments: soo volgt dattet punt E door die beweeging rontsom de uytterste diameters of assen KL, GP op't vlack den omtreck van een Ellipsis beschrijven sal. Het welck te bewijsen was.
|
Dit bewijs is niet alleen geldig voor het gegeven punt N,
maar voor willekeurig ieder punt N.
|
Van Schooten gebruikte hier het woord "oneyndig" voor het eerst. Op de volgende bladzijde verwees hij naar de stelling der ondeelbare van Cavalerie. Het zou dus kunnen dat Van Schooten iets bedoelde met oneindig klein. Omdat op de volgende bladzijden het woord "oneyndig" gebruikt wordt zonder verwijzingen naar Cavalerie, is mijn interpretatie dat Van Schooten bedoelde "voor ieder punt N en dat daar oneindig veel van zijn.
Op bladzijde 290 gebruikte Van Schooten de letter n om een willekeurig punt N aan te duiden.
|
17
|
En gelijck dit gebeurt ontrent het punt E,
… …
sulcx dat wy hier geen ander bewijs behoeven.
|
Dit bewijs is niet alleen geldig voor het gegeven punt E,
maar voor willekeurig ieder punt E,
ongeacht of het op lijnstuk BD ligt, dan wel in het verlengde van BD.
|
|
18
|
In voegen / soo 't punt E weder-zijds van B even-ver af-gelegen waer / dan daer oock gelijcke en gelijckformige Ellipses, doch dewelcke anders om gekeert staen / souden beschreven worden.
|
Als punt E' op gelijke afstand staat van punt B als punt E, maar dan aan de andere kant, dan is de meetkundige plaats een even grote, gelijkvormige ellips ellips, maar dan een kwart slag gedraaid.
|
Als punt E aan de andere kant staat, onstaat weliswaar ook een ellips,
maar as LK is nu de nevenas en as GP is nu de hoofdas.
De lengte van BE zou dus eigenlijk negatief moeten zijn.
De formules voor de lengte van de assen blijven ongewijzigd:
- de lengte van de nevenas is het dubbele van AB − BE
- de lengte van de hoofdas is het dubbele van AB + BE
Als je wilt zien wat er gebeurt als punt E gespiegeld wordt in punt D,
kan Geogebra starten om het resultaat zelf te zien.
 geogebra
|
19
|
Eyndelijck soo is te weeten / datmen niet alleen door 't beweegen van 't punt D langs de liny AD halve Ellipses beschrijft / maer oock geheele / indien men alleen de linialen AB, BED na d'ander syde van AD omkeert.
|
Door punt D over dezelfde lijn te bewegen met de linialen aan zowel de ene als de ander zijde, ontstaat de volledige figuur van de ellips.
|
|
20
|
Aengesien boven betoont is dat FO, dat's NE, is tot NI, als GP, dat
is, de rechte asse, tot LK, dat is, de dwersche asse der Ellipsis; en dit
alsoo in't oneyndig openbaer zy van alle andre rechte ne, ni, die soo in
d'Ellipsis LGKP als in de Cirkel LkKl van de asse LK in tween gelijck
gedeelt worden:
soo volgt i dat d'ellipsis LGKP is tot de Cirkel LkKl, als oock het stuck der Ellipsis EeV tot het stuck des Circkels IiY, gelijck de rechte asse GP tot de dwersse asse LK.
|
Omdat
(stap 12)
daarom is volgens Cavalerie voor ieder lijnstuk evenwijdig aan EV een lijnstuk nei waarvoor de verhouding tussen de lengtes van ne en ni gelijk is aan die tussen de lengtes van GP en LK, dus ook voor lijnstuk YVNEI.
Dus verhouden de oppervlaktes van het deel van de ellips en de cirkelboog zich op de zelfde manier tot elkaar.
| GP
| =
| ne
| =
| opp. LGKP
| =
| opp. EeV
|
| LK
| ni
| opp. LkKl
| opp. IiY
|
|
Van Schooten begon hier een nieuw bewijs zonder introductie.
In stap 28 staat wat hij wilde bewijzen:
De oppervlakte van een ellipssegment is de middelevenredige van de oppervlakte van het grote en het kleine cirkelsegment,
dat wil zeggen van het cirkelsegment van de omgeschreven en van de ingeschreven cirkel.
In 2005 heb ik een essay geschreven over Cavalieri en zijn "indivisibles" voor het vak "Geschiedenis van de Wiskunde".
 Op de rand van oneindigheid
|
21
|
Insgelijcx dewijl de gantsche nε tot de gantsche ni is, als de afgetrocke
nF tot de afgetrocke nr: soo sal oock k de rest Fε tot de rest ri zijn, als
de gantsche nε tot de gantsche ni /dat is, als de rechte asse GP tot de
dwerssche LK.
Hier is sprake van een zetfout want bedoeld wordt
"als de afgetrocke nr tot de afgetrocke nF".
Ook in de Latijnse versies van 1646 en 1657 staat gedrukt "eadem est ratio quæ ablatæ nF ad ablatæ nr".
|
Omdat
(stap 20)
en
(door de constructie).
en nF = NE en nr = NI
daarom
| nε
| =
| NE
| =
| NE + Fε
|
| ni
| NI
| NI + ri
|
en daarom k
en dus
| nε
| =
| nF
| =
| Fε
| =
| GP
|
| ni
| nr
| ri
| LK
|
|
Hier had Van Schooten meer woorden mogen gebruiken om te verduidelijken wat hij van de tekening gebruikte.
In stap 20 benoemde hij lijn nei evenwijdig aan lijn GP.
Hier ging hij verder met lijn nFεri evenwijdig aan GP met nF = NE en nr = NI.
Door de constructie nε = nF + Fε
en ni = nr + ri.
k:
Deze propositie stelt dat als
dat dan
A(B + D) = B(A + C)
en dus A × B + A × D = A × B + B × C
en dus A × D = B × C
en dus
|
22
|
En alsoo dit in't oneyndig openbaer is van alle andre rechte
Fε, ri in het stuck der Ellipsis EεX en des Circkels IiZ: soo machmen
op gelijcke wijz besluyten l dat het stuck der Ellipsis EεX is tot het Circkelstuck
IiZ, als de rechte asse GP tot de dwersse LK.
|
Bovenstaande geldt voor ieder punt i op cirkelboog IiZ, dan wel punt ε op de ellips tussen de punten E en X en dus is volgens Cavalieri l
| opp. ellips EεX
| =
| GP
|
| opp. cirkel IiZ
| LK
|
|
|
23
|
Mede soo volgt, m wegens de gelijckformigheyt der triangulen AFO,
AIN, dat AO is tot AF, als AN tot Al; en onverandert n AO tot AN,
dat is, MF tot ME, als AF tot AI of GP tot LK: en derhalven MF
tot ME, als de rechte asse GP tot de dwersse LK.
|
Omdat ∆AFO gelijkvormig m is aan ∆AIN
en omdat AO = MF en AN = ME
daarom n
| GP
| =
| AF
| =
| AO
| =
| MF
|
| LK
| AI
| AN
| ME
|
|
m:
n:
|
24
|
En aengesien dit nu in't
oneyndig blijckt van alle andre rechte mf/mε, die soo in de Circkel
pGgP als in d'Ellipsis LGKP van de asse GP in tween gedeelt worden:
so volgt o dat de Circkel pGgP is tot de Ellipsis LGKP, gelijck oock het
Circkel-stuck FfW tot het stuck der Ellipsis EεX, als de rechte asse GP
tot de dwersche LK.
|
Bovenstaande geldt voor ieder punt f op cirkelboog FfW, dan wel punt ε op de ellips tussen de punten E en X.
Volgens Cavalerie is er voor ieder lijnstuk mf evenwijdig aan MF een lijnstuk mε waarvoor de verhouding tussen de lengtes gelijk is aan die tussen de lengtes van GP en LK.
Dus o verhouden de oppervlaktes van het deel van de ellips en de cirkelboog zich op de zelfde manier tot elkaar.
| opp. cirkel pGgP
| =
| opp. cirkel FfW
| =
| GP
|
| opp. ellips LGKP
| opp. ellips EεX
| LK
|
|
|
25
|
Vorders alsoo mf tot me, de gantsche tot de gantsche, deselve reden
heeft, als de af-getrockene mR tot de af-getrocke mS: soo sal oock
p de rest Rf tot de rest Se deselve reden hebben, als de gantsche mf
tot de gantsche me, dat is, als de rechte asse GP tot de dwersse LK.
|
Omdat
| GP
| =
| MF
| =
| mf
| =
| mR + Rf
|
| LK
| ME
| me
| mS + Se
|
en omdat mR = mε = MF
en omdat mS = ME = AN
daarom
|
p:
|
26
|
En aengesien dit mede in't oneyndig blijckt van alle andere rechte Rf, Se
in't stuck des Circkels FfT en der Ellipsis EeV: soo staet insgelijcx te
besluyten q dathet Circkel-stuck FfT is tot het stuck der Ellipsis EeV, als
de rechte asse GP tot de dwersche LK.
|
Volgens Cavalerie is er voor ieder lijnstuk Rf evenwijdig aan ME een lijnstuk Se.
Omdat
,
daarom q verhouden de oppervlaktes van het deel van de ellips en de cirkelboog zich op de zelfde manier tot elkaar.
| opp. cirkel pGgP
| =
| opp. cirkel FfT
| =
| GP
|
| opp. ellips FfT
| opp. ellips EeV
| LK
|
|
|
27
|
Aengesien dan bewesen is, dat de Circkel pGgP is tot de Ellipsis LGKP,
en oock het Circkel-stuck FfW tot het stuck der Ellipsis EεX, als
de rechte asse GP tot de dwersche LK; en dat mede in deselve reden de
Ellipsis LGKP is tot de Circkel LkKl, als oock het stuck der Ellipsis
EεX tot het Circkel-stuck IiZ: soo blijckt dat de Ellipsis LGKP is 't
middel-proportionael tussen de Circkel pGgP en de Circkel LkKl;
gelijck mede dat desselfs stuck EεX het middel-proportionael is tussen de
Circkel-stucken FfW en IiZ.
|
Uit stap 24:
| opp. cirkel pGgP
| =
| opp. cirkel FfW
| =
| GP
|
| opp. ellips LGKP
| opp. ellips EεX
| LK
|
Uit stap 20:
| opp. ellips LGKP
| =
| opp. ellips EeV
| =
| GP
|
| opp. cirkel LkKl
| opp. cirkel IiY
| LK
|
Uit stap 22:
| opp. ellips EεX
| =
| GP
|
| opp. cirkel IiZ
| LK
|
daarom:
| opp. cirkel pGgP
| =
| opp. ellips LGKP
|
| opp. ellips LGKP
| opp. cirkel LkKI
|
en ook:
| opp. cirkel FfW
| =
| opp. ellips EεX
|
| opp. ellips EεX
| opp. cirkel IiZ
|
|
In de vergelijking
is x de middelevenredige
en is b de derde evenredige.
|
28
|
Insgelijcx, nademael wy betoont hebben, dat het Circkel-stuck FfT is tot
het stuck der Ellipsis EeV, als de rechte asse GP tot de dwersche LK; en dat
mede in deselve reden het stuck der Ellipsis EeV is tot het Circkel-stuck
IiY: soo blijckt van gelijcken dat het stuck der Ellipsis EeV is het
middel-proportionael tussen de Circkel-stucken FfT en IiY. 't Welck wy dan
voor-genomen hadden hier te betoonen.
|
Uit stap 26:
| opp. cirkel FfT
| =
| GP
|
| opp. ellips EeV
| LK
|
Uit stap 20:
| opp. ellips EeV
| =
| GP
|
| opp. cirkel IiY
| LK
|
Conclusie is dat de oppervlakte van het ellipssegment de middelevenredige is van de oppervlaktes van het grote en het kleine cirkelsegment.
| opp. cirkel FfT
| =
| opp. ellips EeV
|
| opp. ellips EeV
| opp. cirkel IiY
|
|
Modern geformuleerd staat hier dat de oppervlakte van de hele ellips de wortel is van het product van de oppervlakte van de grote en de kleine cirkel.
opp. ellips =
.
De oppervlakte van een ellipssegment is de wortel uit het product van de oppervlaktes van de bijbehorende grote en kleine cirkelsegmenten.
De eerste conclusie is vrij triviaal, maar de tweede conclusie is minder voor de hand liggend.
|
TORRICELLI'S way of employing indivisibles was accepted by many of his colleagues;
their confidence in his work is illustrated in a letter FRANS VAN SCHOOTEN
wrote to CHRISTIAAN HUYGENS September 27, 1650 (HuYGENS Oeuvres, vol. 1,
pp. 130-132). In this letter VAN SCHOOTEN commented upon some examples
HUYGENS had composed to warn against the use of "CAVALIERI'S principles"
(ibid., p. 131). VAN SCHOOTEN found that HUYGENS was too sceptical and that one
should not be afraid of building something on these principles as long as it was
done as TORRICELLI had done in his demonstrations.
