Meetkunde Bewijzen met Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen 57

lemma bij X

Gegeven zijn driehoek ABC en vierhoek DEGH met AC evenwijdig aan DH en EG en ∠BAC = ∠EDH.
Bewijs dat de oppervlakte van driehoek ABC zich verhoudt tot de oppervlakte van vierhoek DEGH als AB × AC zich verhoudt tot DH × DE + EG × DE.

antwoord

Oppervlakte DEGH is even groot als oppervlakte DEF omdat de driehoeken EGI en FHI congruent zijn, want zijde EG is evenlang als zijde FH en alle hoeken zijn overenkomstig omdat zijden EG en FH evenwijdig zijn.

Opp. DEF : opp. ABC = DE × DF : AB × AC. (zie bladzijde 56).
Omdat DF = DH + EG, is opp. DEGH : opp. ABC = DE × (DH + EG) : AB × AC. en dus opp. DEF : opp. ABC = DE × DH + DE × EG : AB × AC.

bladzijde 56

antwoord 2

Omdat opp. ABC : opp. DEH = AB × AC : DE × DH. (zie bladzijde 56)
en omdat opp. DEH : opp. EHG = DH : EG,
daarom is opp. ABC : opp. EHG = AB × AC : DE × EG.
Conclusie is dat opp. ABC : opp. DEH + opp. EHG = AB × AC : DE × DH + DE × EG.