www.fransvanschooten.nl

Posters

Over de belangrijkste personen zijn posters gemaakt voor in de klas.

Posters

Rafaël

Rafaël is een beroemde schilder uit de 16de eeuw, de Renaissance. In het paleis van de paus in het Vaticaan heeft hij veel fresco's gemaakt, waaronder "de School van Athene". In de rechterbenedenhoek staat Euclides met een passer afgebeeld.
 


De Elementen Van Euclides

Euclides van Alexandrië was een Grieks wiskundige die leefde 300 jaar voor de jaartelling. Dat was de Hellinistische tijd. De stad Alexandrië lag in Egypte aan de Middelandse Zee. De stad was in 330 voor de jaartelling gesticht door Alexander de Grote. Het was toen een hoofdstad en een belangrijk centrum van cultuur, kennis en geleerdheid.

 

Systematisch

Euclides is bekend om zijn systematische behandeling van de meetkunde. Over zijn leven is weinig bekend. Schilderijen en beelden zijn artists impressions. Zijn meesterwerk is "De Elementen", een boek uit dertien delen. Daarin bouwde Euclides de meetkunde streng en logisch op. Ieder boek opent met definities. Vervolgens wordt een logisch bouwwerk opgetrokken van constructies en stellingen waarvan de bewijzen gebaseerd zijn op die veronderstellingen en op hetgeen daarvoor bewezen is. De eerste stellingen zijn nogal elementair, maar de laatste zijn beslist niet voor de hand liggend. Euclides was streng. Niets is waar als het niet eerst is bewezen, of expliciet aangenomen. Daarom begon hij het eerste boek met een aantal aannames en algemene inzichten. Daarop fundeerde Euclides zijn meetkunde.

 

Model

De 17de eeuwse mens bewonderde de rationaliteit. De Elementen hebben eeuwen lang model gestaan voor het meetkunde onderwijs. Oude leerboeken volgen de opbouw van De Elementen: eerst definities, dan aannames en dan proposities. Proposities zijn voorstellen die beginnen met de formulering van een probleem en een toelichting daarop. Daarna komt een oplossing en de demonstratie van het bewijs dat deze oplossing correct is. Proposities worden afgesloten met een conclusie.

 


Stijl

Ook buiten de wiskunde is deze manier van redeneren overgenomen. Newton hanteerde dezelfde opbouw in zijn uiteenzetting over de natuurkunde. De wijsgeer Spinoza bouwde zijn juridische betogen op dezelfde manier op. Daarom is het een belangrijk westers cultuurdocument. Na de Bijbel wordt het wel het tweede meest gelezen en vertaalde boek genoemd.

Van Schooten verwijst in zijn boek op iedere pagina vele keren naar de proposities van Euclides. Daarom zijn op deze webpagina opgesomd alle proposities waar hij naar verwijst.
Onderzocht moet worden welke vertaling(en) Frans van Schooten gebruikt heeft. Hij zal zeker de vertaling gekend hebben die zijn vader in 1617 uitgegeven heeft.

Op deze website wordt een eigentijdse vertaling gebruikt die zo dicht mogelijk blijft bij de wiskunde taal in het voortgezet onderwijs. Nederlandstalige bron is de vertaling van Dijksterhuis. Hoewel deze uit 1929 stamt, is het toch de meeste recente vertaling. Als engelstalige bron is de gezaghebbende vertaling van Heath gebruikt.

Bronnen

Over Euclides en zijn meetkunde zijn veel boeken geschreven. Ook op internet is veel informatie te vinden.

bronnen

Vertaling

De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929. Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.

top


Definities

Zorgvuldig woordgebruik is belangrijk. Euclides begint zijn boek met een lange opsomming van definities over bijvoorbeeld wat een punt is en wat een lijn is. Wij sluiten aan bij de woordkeus in de huidige wiskunde methoden en bij de definities van Dijksterhuis.

top


Hoeken

In de schets hiernaast staan de hoeken A tot en met H die horen bij twee evenwijdige lijnen die door een derde lijn gesneden zijn.

De hoeken ∠A, ∠D, ∠F en ∠G zijn buitenhoeken
en de hoeken ∠B, ∠C, ∠E en ∠H zijn binnenhoeken.

De hoeken ∠A en ∠E zijn overeen­komstige hoeken, net als ∠B en ∠F overeen­komstige hoeken zijn en ook ∠C en ∠G zijn overeen­komstig en ∠D en ∠H ook.

Bijbehorende hoeken worden als volgt genoemd.
De hoeken ∠A en ∠C zijn de neven­hoeken van ∠B
en ∠D is een overstaande hoek van ∠B.
Hoek ∠A is een verwisselende buitenhoek van ∠G
en hoek ∠H is een verwisselende binnenhoek van ∠B.


 


In ∆ABC is ∠A de hoek die ingesloten is door zijde AB en zijde AC.
Hoek A heet daarom de ingesloten hoek.
Hoek B heet de binnenhoek en hoek B' heet de buitenhoek.

top


Axioma's

Vertaling

De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929. Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.

Andere Vertalingen

Als de muis boven een axioma komt, verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).

Links

Onder de toelichting staan links naar deze of andere webpagina's:

Frans van Schooten Junior: Mathematische Oeffeningen.
Frans van Schooten Senior: De propositien van de XV Boucken der Elementen Euclidis.
Joyce: the interactive website with applets.

Axioma's zijn aannames. In de wiskunde worden ze met een mooi woord postulaten genoemd. Het zijn zaken die zelf niet te bewijzen zijn, niet vanzelfsprekend zijn en toch essentieel in de logische opbouw van stellingen en bewijzen. In het platte vlak lijken het open deuren, maar creatieve wiskundigen hebben laten zien dat je met andere axioma's tot heel fascinerende resultaten komt. Dat is de niet-euclidische meetkunde.

Van Schooten verwijst regelmatig naar de eerste drie axioma's en één keer naar de vijfde. Deze drie staan hieronder.

  1. 1

    Zie: Schooten Sr
  2. 2

    Zie: Schooten Sr
  3. 3

    Zie: Schooten Sr
  4. 4

    Zie: Schooten Sr
  5. 5

    Deze aanname garandeert dat er altijd een driehoek ontstaat aan de kant waar de twee binnenhoeken minder dan 180° zijn.
    Zie: Schooten Sr
  1. Op bladzijde 121 beschrijft Van Schooten zijn derde aanname:
  2. 3

    Deze aanname is de tweede constructie / de tweede propositie uit het eerste boek.
    Zie: bladzijde 122, 123,

De derde aanname van Euclides gaat over cirkels, maar van Schooten wil in zijn tweede boek geen cirkels gebruiken. Daarom is deze aanname voor deze website niet relevant.

top


Algemene Inzichten

Vertaling

De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929. Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.

Andere Vertalingen

Als de muis boven een algemene inzicht komt, verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).

Links

Onder de toelichting staan links naar deze of andere webpagina's:

Frans van Schooten Junior: Mathematische Oeffeningen.
Frans van Schooten Senior: De propositien van de XV Boucken der Elementen Euclidis.
Joyce: the interactive website with applets.

Frans van Schooten Junior gebruikte het woord "Gemene Bekentenis". Tegenwoordig wordt het woord "Algemene Inzichten" gebruikt. Zijn vader, Frans van Schooten Senior, noemde het "Gemeene Bekentenissen", maar, verwarrend genoeg, in het Latijn "Axiomata". Het zijn vanzelfsprekendheden die Euclides nodig heeft om de juistheid van beweringen te kunnen bewijzen.
In de moderne literatuur zijn er vijf "algemene inzichten", maar in de 17de eeuw waren er twaalf. Het verschil is dat toen gebruik gemaakt werd van Griekse manuscripten uit de 4de eeuw. Die zijn veel uitvoeriger en uitgebreider dan een ouder manuscript dat in 1810 is gevonden. Tegenwoordig volstaan er vijf, maar de nummering (i,ii,iii,vii en viii) is gebleven.

  1. 1

    Als het een gelijk is aan iets anders en een derde gelijk is aan het ene, dan is die derde ook gelijk aan het andere. Dus zijn ze alle drie gelijk aan elkaar.
    Als A = B en C = B dan A = B = C.
    Zie: bladzijde 123, 127, 129,
    Zie: Schooten Sr

  2. 2

    Als twee gelijke dingen, opgeteld worden bij twee andere gelijke dingen, dan is de som van die gelijke dingen ook gelijk aan elkaar.
    Als A1 = A2 en B1 = B2 dan A1 + B1 = A2 + B2.
    Zie: bladzijde 122, 123,
    Zie: Schooten Sr
  3. 3

    Als twee gelijke dingen, afgetrokken worden van twee gelijke dingen, dan is het verschil van die gelijke dingen ook gelijk aan elkaar.
    Als A1 = A2 en B1 = B2 dan A1 - B1 = A2 - B2.
    Zie: bladzijde 122, 123, 128, 136, 137, 137,
    Zie: Schooten Sr

  4.  
  1. NB: Lees voor "gelijk" ook "even lang" of "even groot".
  2. 8

    Zie: bladzijde 143,
  3.  
  4. 10

    Tegenwoordig wordt dit beschouwd als het vierde axioma.
    Zie aanname 4
    Zie: bladzijde 135,
  5. 11

    Zie: aanname 5
    Zie: bladzijde 124,
  6. Voor Van Schooten en zijn tijdgenoten is dit een algemeen inzicht.
    Tegenwoordig wordt dit beschouwd als het vijfde axioma. Het staat bekend als het parallellenpostulaat waar veel over te doen is geweest. Deze aanname garandeert dat er altijd een driehoek ontstaat aan de kant waar de twee binnenhoeken minder dan 180° zijn.
    Zie: Schooten Sr

    Ter illustratie is op deze website een webpagina gewijd aan Jan Pietersz Dou die in 1606 de eerste Nederlandse vertaling van de eerste zes boeken van Euclides heeft gepubliceerd. Meer details staan bij de vertaling die de vader van Frans van Schooten Junior heeft gemaakt.
    Jan Pietersz Dou: De ses eerste Boecken Euclides
    Frans van Schooten Senior: DE PROPOSITIEN vande xv. Boucken der Elementen Euclidis.

top


Constructies

Constructies

boek 1
boek 2
boek 3
boek 4
boek 5
boek 6

Vertaling

De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929. Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.

Andere Vertalingen

Als de muis boven een propositie komt, verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).

Na de definities, aannames en algemene inzichten komen de proposities. Dat zijn enerzijds "constructies" en anderzijds "stellingen".
Van Schooten noemt de constructies "werkstukken". Ze zijn door hem apart genummerd. Eerst komt de lijst van constructies, zoals genummerd door Frans van Schooten. Daarna komt de lijst met proposities, zoals genummerd door Euclides.

Constructies Boek 1

  1. 1

    Gegeven een lijnstuk, wordt van dat lijnstuk de zijde van een gelijkzijdige driehoek gemaakt.
    Zie: propositie 1
    Zie: bladzijde 137, voor "VIII Werckstuck".
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  2. 2

    Gegeven een lijnstuk en gegeven een lijn en een punt op die lijn, wordt vanuit dat punt op die lijn een lijnstuk afgepast met de lengte van het gegeven lijnstuk.
    Zie: propositie 2
    Dit is de propositie waar Van Schooten op doelt als hij op bladzijde 118 zijn derde aanname poneert. Zie: aanname 3
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  3. 3

    Gegeven twee lijnstukken, de een langer dan de ander, wordt van het langere lijnstuk het kortere afgepast. Het langere lijnstuk wordt zo opgedeeld in twee delen. Een deel zo lang als het kortere lijnstuk. Het andere is het ingekorte deel.
    Zie: propositie 3
    Zie: bladzijde 143, voor "VII Voorstel".
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

    Van Schooten werkt deze constructie niet uit omdat hij geen alternatief heeft voor het euclidische bewijs. Van Schooten wil in zijn boek meetkunde bedrijven zonder cirkels, maar het euclidische bewijs is gebaseerd op cirkels.

  1. 4

    Een gegeven hoek, bepaald door drie punten, wordt in twee even grote hoeken opgedeeld.
    Zie: propositie 9
    Zie: bladzijde 122, voor "I Werckstuck".
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  1. 5

    Gegeven een lijnstuk tussen twee punten, wordt op dat lijnstuk een derde punt bepaald dat het in twee even grote lijnstukken deelt.
    Zie: propositie 10
    Zie: bladzijde 126, voor "II Werckstuck".
    Zie: bladzijde 126, voor "II Werckstuck" Anders.
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  1. 6

    Gegeven een lijn en gegeven een punt, wordt door dat punt een lijn getrokken die een rechte hoek maakt met die gegeven lijn. De geconstrueerde lijn staat nu loodrecht op de gegeven lijn en gaat door het gegeven punt.
    Zie: propositie 11
    Zie: bladzijde 133, voor "IV Werckstuck".
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  1. 7

    Gegeven een lijn en gegeven een punt dat niet op die lijn ligt, wordt een lijn getrokken die door dat punt gaat en dat een rechte hoek maakt met die ene lijn
    Zie: propositie 12
    Zie: bladzijde 135, voor "V Werckstuck".
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  2. 8

    Gegeven drie lijnstukken met zekere lengte en gegeven een punt op een lijn, wordt een driehoek geconstrueerd met als lengte van de zijden de lengtes van die drie lijnstukken. Voorwaarde is dat de driehoek te construeren is uit die drie lijnstukken en dus moet de som van ieder tweetal lijnstukken groter zijn dan het andere lijnstuk.
    Van Schooten werkt dit voorstel niet uit omdat hij geen alternatief heeft voor het euclidische bewijs. Van Schooten wil in zijn boek meetkunde bedrijven zonder cirkels, maar het euclidische bewijs is gebaseerd op cirkels
    Zie: propositie 22
    Zie: bladzijde 149.
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  3. 9

    Gegeven een hoek tussen twee lijnen en gegeven een andere lijn door een zeker punt, wordt in dat punt een hoek met die lijn geconstrueerd dat even groot is als die gegeven hoek.
    Van Schooten voegt hier een extra werkstuk aan toe: Gegeven een hoek tussen twee lijnen en gegeven een andere lijn en gegeven een punt dat niet op die lijn ligt, wordt een lijn door dat punt geconstrueerd die met die gegeven lijn een even grote hoek maakt als die gegeven hoek.
    Zie: propositie 23
    Zie: bladzijde 135, voor "VI Werckstuck".
    Zie: bladzijde 136
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  4. 10

    Zie: propositie 31
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  5. 11

    Zie: propositie 42
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  6. 12

    Zie: propositie 44
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  7. 13

    Zie: propositie 45
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  8. 14

    Zie: propositie 46
    Zie: bladzijde 146.
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

top


Constructies Boek 2

  1. 1

    Zie: propositie 11
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  2. 2

    Zie: propositie 14
    Zie: bladzijde 146, 152
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

top


Constructies Boek 3

  1. 1

    Zie: propositie 1
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  2. 2

    Gegeven een cirkel, bijvoorbeeld door drie punten B, C en D en gegeven een punt A, niet noodzakelijkerwijs op die cirkel, wordt een lijn door A geconstrueerd die de cirkel raakt.
    Zie: propositie 17
    Zie: bladzijde 147,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  3. 3

    Zie: propositie 25
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

top


Constructies Boek 4

  1. 1

    Zie: propositie 1
    Zie: bladzijde 147,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

top


Constructies Boek 6

  1. 1

    Gegeven een lijnstuk AB en een lijnstuk AC met een punt D ergens op dat lijnstuk AC, geconstrueerd wordt een punt F op AB zodanig dat AB en DE evenredig zijn met BC en EF.
    Moderne notatie: AB : DE =  BC : EF.
    Zie: propositie 9
    Zie: bladzijde 138,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  2. 2

    Gegeven een lijnstuk AD en een lijnstuk EFGH wordt op lijnstuk AD een punt B en een punt C geconstrueerd zodanig dat AB en EF evenredig zijn met BC en FG en evenredig met CD en GH.
    Moderne notatie: AB : EF  =  BC : FG  =  CD : GH.
    Zie: propositie 10
    Zie: bladzijde 138,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  3. 3

    Gegeven lijnstuk AB en lijnstuk AC, wordt lijnstuk AB verlengd tot lijnstuk ABD met BD = AC, wordt lijnstuk AC verlengd tot lijnstuk ACE waarbij BC evenwijdig is met DE zodat AC zich verhoudt tot EC als AB tot AC.
    Moderne notatie: AC : CE =  AB : BD.
    Zie: propositie 11
    Zie: bladzijde 138, bladzijde 148,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  4. 4

    Gegeven drie lijnstukken A, B en C, worden de lijnstukken DGE en DHF geconstrueerd met DG = A en GE = B en DH = C en GH evenwijdig aan EF. Resultaat is dat A en B evenredig zijn met C en HF.
    Moderne notatie: A : B = C : HF.
    Zie: propositie 12
    Zie: bladzijde 138,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  5. 5
    Het meetkundig gemiddelde van een grootheid a en een grootheid b is rekenkundig gezien de wortel uit het product van a en b.
    Moderne notatie:
    a × b

    Zie: propositie 13
    Zie: bladzijde 145,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

top


Proposities

Proposities

boek 1
boek 2
boek 3
boek 4
boek 5
boek 6
boek 12

Vertaling

De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929. Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.

Andere Vertalingen

Als de muis boven een propositie komt, verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).

Van Schooten verwijst uitvoerig naar de proposities van Euclides. Daarom is in deze bijlage een opsomming opgenomen van alleen die proposities waar hij naar verwijst. Soms lijkt het erop dat hij de rijkdom van Euclides wil etaleren, want om didactische redenen bewandelt hij niet altijd de kortste weg. Voor de leerlingen opgaven kunnen we met minder proposities volstaan, of met andere. Deze zijn met het symbool gemarkeerd.

top


Proposities Boek 1

Van Schooten verwijst veelvuldig naar Boek 1.

  1. 1

    Zie: constructie 1
    Zie: bladzijde 137, voor "VIII Werckstuck".
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  2. 2

    Zie: constructie 2
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  3. 3

    Zie: constructie 3
    Zie: bladzijde 143, voor "VII Voorstel".
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  1. 4

    Dat betekent dat ook de derde zijde even groot is en dat ook de andere overeen­komstige hoeken even groot zijn. De driehoeken zijn dus gelijk.
    Zie: bladzijde 122, 124, 127, 129, 131, 132, 133, 134, 157, 157, 158,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  1. 5

    Zie: bladzijde 123, 283, 284
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  2. 6


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  3. 7


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  1. 8

    Zie: bladzijde 122, 125, 134,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  1. 9

    Zie: constructie 4
    Zie: bladzijde 122, voor "I Werckstuck".
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

     
  1. 10

    Zie: constructie 5
    Zie: bladzijde 126, voor "II Werckstuck".
    Zie: bladzijde 126, voor "II Werckstuck" Anders.
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

     
  1. 11

    Zie: constructie 6
    Zie: bladzijde 133, voor "IV Werckstuck".
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  1. 12

    Zie: constructie 7
    Zie: bladzijde 135, voor "V Werckstuck".
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  1. 13

    Zie: bladzijde 122, 122, 124, 124, 124, 125, 125, 125, 129,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens

  2. 14


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  1. 15

    Zie: bladzijde 124, 129, 129, 129, 131, 132, 133, 134, 287,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  1. 16

    Zie: bladzijde 129
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens

  1. 17

    Alternatief: De som van twee hoeken van een driehoek is altijd minder dan een gestrekte hoek.
    Alternatief: De som van twee hoeken van een driehoek is altijd minder dan 180°.
    Zie: bladzijde 129, 129,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  1. 18

    Zie: bladzijde 124,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens

  2. 19

    Zie: bladzijde
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens

  3. 20

    Zie: bladzijde
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  4. 21


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  5. 22

    Gegeven drie lijnstukken met zekere lengte en gegeven een punt op een lijn, wordt een driehoek geconstrueerd met als lengte van de zijden de lengtes van die drie lijnstukken. Voorwaarde is dat de driehoek te construeren is uit die drie lijnstukken en dus moet de som van ieder tweetal lijnstukken groter zijn dan het andere lijnstuk.
    Zie: constructie 8
    Zie: bladzijde 149.
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  6. 23

    Zie: constructie 9
    Zie: bladzijde 135, voor "VI Werckstuck".
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  7. 24


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  8. 25


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  1. 26

    Dat betekent dat ook de derde zijde even groot is en dat ook de overeen­komstige derde hoeken even groot zijn. De driehoeken zijn dus gelijk.
    Zie: bladzijde 122, 125, 157, 157, 158,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  1. 27

    Zie: bladzijde 131, 132,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens

  1. 28

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens

  2. 29

    Zie: bladzijde 123, 129, 129, 135, 136,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens

  3. 30

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  4. 31

    Zie: constructie 10
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  1. 32

    Zie: bladzijde 283, 284, 285, 286,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens

  1. 33

    Zie: bladzijde 131
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens
  2. 34

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  3. 35


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  4. 36


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  1. 37

    Zie: bladzijde 127
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens

  2. 38

    Zie: bladzijde 123 126, 127, 128,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  3. 39

    Zie: bladzijde 123 127, 128, 131,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  4. 40


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  5. 41

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  6. 42

    Zie: constructie 11
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  7. 43


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  8. 44


    Zie: constructie 12
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens
  9. 45

    Zie: constructie 13
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens
  10. 46

    Zie: constructie 14
    Zie: bladzijde 146,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens
  11. 47

    Zie: bladzijde 136 147 148 477
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens

    Frans van Schooten Junior geeft twee bewijzen voor deze stelling in het eerste boek van zijn "Mathematische Oeffeningen"": Boek 1.

  1. 48
  2. 49
  3. 50
  4. 51
  5. 52
  6. 53
  7. 54
  8. 44
  9. 56
  10. 57
  11. 58
  12. 59
  13. 60
  14. 61
  15. 62

top


Vertaling

De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929. Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.

Andere Vertalingen

Als de muis boven een propositie komt, verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).

Dijksterhuis

Dijksterhuis benadrukt het algebraïsche aspect van dit tweede boek en waarschuwt ervoor dat we onze moderne algebrïsche manier van werken niet mogen projecteren op de Griekse tijd.
 

Het is duidelijk, dat in deze tien proposities zekere algebraische identiteiten in meetkundigen vorm staan uitgedrukt. Denken we ons namelijk de grootten der beschouwde lijnstukken en oppervlakken d or positieve reëele getallen voorgesteld, dan kunnen de proposities II, 1-10 in moderne schrijfwijze als volgt worden weergegeven.


Het blijkt dus, dat het gebruik van lijnstukken en oppervlakken de Grieken in staat stelt om, niettegenstaande hun beperkt getalbegrip en hun gemis aan een algebra, grootheden te behandelen, die wij door positieve reëele getallen weergeven en waartusschen wij langs algebraischen weg betrekkingen vinden. De toegepaste methode wordt in navolging van Zeuthen thans algemeen met den naam van geometrische algebra bestempeld.

Proposities Boek 2

Van Schooten verwijst in zijn boek op iedere pagina vele keren naar de proposities van Euclides. Daarom is in deze bijlage een opsomming opgenomen van alleen die proposities waar hij naar verwijst.

  1. 1

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  2. 2

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  3. 3

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  4. 4

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  5. 5

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  6. 6

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  7. 7

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  8. 8

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  9. 9

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  10. 10

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  11. 11

    Zie: constructie 1
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  12. 12

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  13. 13

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  14. 14

    Zie: constructie 2
    Zie: bladzijde 146, 146,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

top


Proposities Boek 3

Van Schooten verwijst in zijn boek op iedere pagina vele keren naar de proposities van Euclides. Daarom is in deze bijlage een opsomming opgenomen van alleen die proposities waar hij naar verwijst.

  1. 1

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  2. 2

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  3. 3

    Zie: bladzijde 149,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  4. 4

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  5. 5

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  6. 6

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  7. 7

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  8. 8

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  9. 9

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  10. 10

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  11. 11

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  12. 12

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  13. 13

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  14. 14

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  15. 15

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  16. 16

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  17. 17

    Gegeven een cirkel, bijvoorbeeld door drie punten B, C en D en gegeven een punt A, niet noodzakelijkerwijs op die cirkel, wordt een lijn door A geconstrueerd die de cirkel raakt.
    Zie: constructie 2
    Zie: bladzijde 147,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  18. 18

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  19. 19

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  20. 20

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens
  21. 21

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens
  22. 22

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
    Zie: Klingens
  23. 23

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  24. 24

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  25. 25

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  26. 26

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  27. 27

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  28. 28

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  29. 29

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  30. 30

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  31. 31

    Dit is niet de stelling van Thales, ook al begint de propositie met soortgelijke woorden.
    Zie: bladzijde 133, 146, 148,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  32. 32

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  33. 33

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  34. 34

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  1. 35

    Zie: bladzijde 289,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  1. 36

    Zie: bladzijde 149,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  2. 37

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

top


Proposities Boek 4

Het vierde boek gaat over driehoeken, veelhoeken en ingeschreven en omgeschreven cirkels.

  1. 1

    Zie: propositie 1
    Zie: bladzijde 147,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  2. 2


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  3. 3


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  4. 4


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  5. 5


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10. 10


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  11. 11


    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

top


Proposities Boek 5

Vertaling

De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929. Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.

Andere Vertalingen

Als de muis boven een propositie komt, verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).

Van Schooten verwijst in zijn boek op iedere pagina vele keren naar de proposities van Euclides. Daarom is in deze bijlage een opsomming opgenomen van alleen die proposities waar hij naar verwijst.

Het vijfde boek wordt de "reden-theorie" genoemd. Het gaat over "grootheden" en over "verhoudingen". In de moderne notatie wordt het : teken gebruikt, maar daar wordt niet de deling als rekenkundige bewerking mee bedoeld.

Voor de duidelijkheid worden eerst enkele definities gegeven: De originele formulering van Dijksterhuis en Heath verschijnen als de muis over de betreffende regel beweegt. Na de omschrijving volgt vaak een moderne algebraïsche notatie.

  1.  
  2.  
  3. Reden is een verhouding tussen twee grootheden.

    Reden is een factor die aangeeft hoeveel keer groter of kleiner de ene grootheid is ten opzichte van de andere grootheid.
    Moderne notatie: A : B = p of A = B × p.

  4. Gegeven iets kleins en iets groots, door het kleinere maar lang genoeg te vermenigvuldigen wordt het vanzelf groter dan het grotere.

    Moderne notatie: Als A > B dan is er altijd een p zodanig dat A < B × p

  5. De grootheden A en B zijn in dezelfde reden als de grootheden C en D als voor elk paar getallen p en q geldt dat
    als p×A > q×B, dan p×C > q×D
    als p×A = q×B, dan p×C = q×D
    als p×A < q×B, dan p×C < q×D
  6. De grootheden A en B zijn evenredig met C en D als A = p×B en als C = p×D,

Van Schooten verwijst naar de volgende proposities:

  1. 8

    Zie: bladzijde 477,
  2. 9

    Moderne notatie: als A : B = A : C, dan B = C.
    Zie: bladzijde 131, 295,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  3. 10

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  4. 11

    Moderne notaties:

    als A = C en als C = E dan A = E
    BDDFBF

    als A : B = C : D en als C : D = E : F, dat dan A : B = E : F.
    Zie: bladzijde 126, 131, 132, 293, 295,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  5. 12

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  6. 13

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  7. 14

    Moderne notatie: als voor de grootheden A, B, C en D geldt dat als A : B = C : D en als A > C, dan B > D en als A = C dan ook B = D en als A < C, dan ook B < D.
    Zie: bladzijde 126, 126,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  8. 15

    Zie: bladzijde 126, 289,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  9. 16

    Moderne notatie: als A : B = C : D dan A : C = B : D.
    Zie: bladzijde 126, 131, 289, 290,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  10.  
  11. 18

    Moderne notatie: als A = B + C en D = E + F en als B : C = E : F, dan A : C = D : F.
    Zie bladzijde: 137, 293,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  12. 19

    Moderne notatie: als A : B = C : D, dan A − C : B − D.
    Zie bladzijde: 290, 293,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  13. 20


    Zie:
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  14. 21


    Zie:
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  15. 22

    Zie: bladzijde 130, 295
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  16. 23

    Zie:
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  17. 24

    Zie:
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  18. 25

    Zie:
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

top


Proposities Boek 6

Vertaling

De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929. Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.

Andere Vertalingen

Als de muis boven een propositie komt, verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).

Van Schooten verwijst in zijn boek op iedere pagina vele keren naar de proposities van Euclides. Daarom is in deze bijlage een opsomming opgenomen van alleen die proposities waar hij naar verwijst.

Het zesde boek gaat over meetkundige toepassingen van de redentheorie.
Voor de duidelijkheid worden eerst enkele definities gegeven:

  1. Gelijkvormige figuren zijn een vergroting van elkaar.
  2.  
  3.  
  4. De hoogte van een punt ten opzichte van een lijn is altijd de lengte langs de loodlijn door dat punt.

Van Schooten verwijst naar de volgende proposities:

  1. 1

    Zie: bladzijde 126, 126, 127, 131,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  2. 2

    Zie: bladzijde 127, 128, 132, 137, 289,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  3. 3

    Zie: GN108 folio 47 recto,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  4. 4

    Zie bladzijde: 126 126 130 130 132, 289, 290, 292,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  5. 5

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  6. 6

    Zie bladzijde: 196
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  7.  
  8.  
  9. 9

    Gegeven een lijnstuk AB en een lijnstuk AC met een punt D ergens op dat lijnstuk AC, geconstrueerd wordt een punt F op AB zodanig dat AB en DE evenredig zijn met BC en EF.
    Moderne notatie: AB : DE =  BC : EF.
    Zie: constructie 1
    Zie: bladzijde 138,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  10. 10

    Gegeven een lijnstuk AD en een lijnstuk EFGH wordt op lijnstuk AD een punt B en een punt C geconstrueerd zodanig dat AB en EF evenredig zijn met BC en FG en evenredig met CD en GH.
    Moderne notatie: AB : EF  =  BC : FG  =  CD : GH.
    Zie: constructie 2
    Zie: bladzijde 138,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  11. 11

    Gegeven lijnstuk AB en lijnstuk AC, wordt lijnstuk AB verlengd tot lijnstuk ABD met BD = AC, wordt lijnstuk AC verlengd tot lijnstuk ACE waarbij BC evenwijdig is aan DE zodat AC zich verhoudt tot EC als AB tot AC.
    Moderne notatie: AC : CE = AB : BD.
    Zie: constructie 3
    Zie: bladzijde 138, 148,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  12. 12

    Gegeven drie lijnstukken A, B en C, worden de lijnstukken DGE en DHF geconstrueerd met DG = A en GE = B en DH = C en GH evenwijdig aan EF. Resultaat is dat de verhouding tussen de lijnstukken A en B evenredig is met de verhouding tussen de lijnstukken C en HF.
    Moderne notatie: A : B = C : HF.
    Zie: constructie 4
    Zie: bladzijde 138,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  13. 13

    Het meetkundig gemiddelde van een grootheid a en een grootheid b is rekenkundig gezien de wortel uit het product van a en b.
    Moderne notatie: .
    Zie: constructie 5
    Zie: bladzijde 145,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  14. 14

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  15. 15

    Als twee driehoeken een even grote hoek hebben en de lengtes van de zijden aan die hoek zich omgekeerd evenredig tot elkaar verhouden, dan zijn het even grote driehoeken.

    Gegeven twee driehoeken, ∆ABC met zijden a, b en c en ∆DEF met zijden d, e en f, met ∠A = ∠D geldt dat als de verhouding van de kleinste aanliggende zijde van ∠A met de kleinste aanliggende zijde van ∠D gelijk is aan de verhouding van de grootste aanliggende van ∠D met de grootste aanliggende van ∠A dat dan de driehoeken even groot zijn. Het omgekeerde is ook waar. Gegeven die driehoeken geldt als de driehoeken even groot zijn, dat dan de verhouding van de kleinste aanliggende zijde van ∠A met de kleinste aanliggende zijde van ∠D gelijk is aan de verhouding van de grootste aanliggende van ∠D met de grootste aanliggende van ∠A.
    Moderne notatie: kleinste ∆ABC : kleinste ∆DEF = grootste ∆DEF : grootste ∆ABC <=> oppervlakte ∆ABC = oppervlakte ∆DEF.
    Zie: bladzijde 126
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

  16. 16

    Zie: bladzijde 149
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  17. 17

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  18. 18

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  19. 19

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  20. 20

    Zie: bladzijde 289
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  21. 21

    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  22. 22

    Zie: bladzijde 289
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

top


Proposities Boek 12

Vertaling

De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929. Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.

Andere Vertalingen

Als de muis boven een propositie komt, verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).

Van Schooten verwijst naar de volgende proposities:

  1. 1

    Zie: bladzijde ,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  2. 2

    Zie: bladzijde 421,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce
  1. 10

    Zie: bladzijde ,
    Zie: Schooten Sr
    Zie: Joyce

top


Bronnen

De volgende boeken en bronnen op internet zijn gebruikt voor deze webpagina.

Andere pagina's op deze website zijn: