Bijlage Getal & Ruimte

G & R

Inleiding

Op deze webpagina staat in het kort de relevante lesstof van Getal & Ruimte.

• Brugklas
• 2 Havo / Vwo
• 3 Havo / Vwo

• ---

Brugklas

Hoofdstuk 9 behandelt driehoeken en vierhoeken.

Een scherpe hoek is een hoek tussen drie punten van minder dan 90°
Een rechte hoek is exact 90°
Een stompe hoek is meer dan 90° maar minder dan 180°
Een gestrekte hoek is exact 180°, twee maal een rechte hoek
Definitie: een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn. De eigenschappen van een parallellogram zijn: de overstaande zijden zijn even lang (Û) de diagonalen delen elkaar midden door (Û)  overstaande hoeken zijn even groot (Û) het snijpunt van de diagonalen is het punt waar de parallellogram puntsymmetrisch is Als een figuur voldoet aan een eigenschap die met (Û) gemarkeerd is, dan is het een parallellogram.
In een vlieger staan de diagonalen loodrecht op elkaar is één van de diagonalen symmetrie as. zijn de overstaande hoeken van de punten waarvan de diagonaal die niet de symmetrie as is, even groot. zijn de zijden die grenzen aan de hoeken van de symmetrie as even groot
Definitie: een ruit is een vierhoek waarvan alle zijden even lang zijn. De eigenschappen van een ruit zijn: de diagonalen delen de hoeken middendoor (Û) de diagonalen staan loodrecht op elkaar (Û) de diagonalen zijn symmetrieassen (Û) gelden alle eigenschappen van een parallellogram en van een vlieger Als een figuur voldoet aan een eigenschap die met (Û) gemarkeerd is, dan is het een ruit.
Definitie: een rechthoek is een parallellogram met rechte hoeken. De eigenschappen van een rechthoek zijn: de diagonalen zijn even lang (Û) Als een figuur voldoet aan een eigenschap die met (Û) gemarkeerd is, dan is het een rechthoek.
Definitie 1: een vierkant is een ruit met rechte hoeken. Definitie 2: een vierkant is een rechthoek met vier even lange zijden.

2 Havo / Vwo

Hoofdstuk 2 behandelt:

• Deellijn of bissectrice
  op basis van rekenen aan hoeken
• Middelloodlijn
  tekenen met de geodriehoek
  met de eigenschap dat elk punt P op de middelloodlijn van het lijnstuk AB even ver ligt van het punt A als van het punt B
  met de eigenschap dat het snijpunt van de middelloodlijnen van een driehoek ABC het centrum is van een omgeschreven cirkel die door de punten A, B en C gaat.
• Zwaartelijn
  opmeten midden van de overstaande zijde en een lijn trekken naar het hoekpunt
• Z-hoeken
  In een Z-figuur zijn twee lijnen evenwijdig en zijn de Z-hoeken gelijk
• F-hoeken
  In een F-figuur zijn twee lijnen evenwijdig en zijn de F-hoeken gelijk
• Trapezium
  Een trapezium is een vierhoek waarvan één paar overstaande zijden evenwijdig is.
• oppervlakte van een driehoek is ½ × zijde × bijbehorende hoogte
• oppervlakte van een parallellogram is zijde × bijbehorende hoogte

Vergrotingen en gelijkvormigheid

Extra stof voor VWO leerlingen in hoofdstuk 2:

• oppervlakte van een trapezium is ½ × som van evenwijdige zijdes × bijbehorende hoogte
• bissectrice
  constructie met een passer
  met de eigenschap dat het snijpunt van de deellijnen van een driehoek ABC het centrum is van een ingeschreven cirkel die door de punten A, B en C gaat.

Hoofdstuk 2 herhaalt:

• de som van de hoeken van een driehoek is 180°.
• overstaande hoeken zijn gelijk
• de symbolen voor rechte hoek en loodrechte hoek: ∟ , ⊥
• het symbool voor evenwijdigheid: //
• oppervlakte van een rechthoek is lengte × breedte

Hoofdstuk 6 behandelt de Stelling van Pythagoras en zijn omkering.

• in elke recht­hoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.
• als de som van de kwadraten van twee zijden gelijk is aan het kwadraat van de derde zijde, dan is de hoek tussen de twee zijden een rechte hoek en is de derde zijde de schuine zijde.
•  

Hoofdstuk 8 gaat over inhoud en vergroten.

• prisma
  Een prisma heeft twee evenwijdige grensvlakken
• inhoud balk / prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte
•  

Vergrotingen en gelijkvormigheid

3 Havo

Hoofdstuk 2 behandelt gelijk­vormigheid:

• Kruisproduct en verhoudingstabel
• Gelijkvormige driehoeken 
  òf: de overeen­komstige drie hoeken zijn gelijk
  òf: de overeen­komstige twee hoeken zijn gelijk
  òf: de overeen­komstige zijden passen in een verhoudingstabel
• snavel- en zandloper figuur

Hoofdstuk 2 herhaalt:

• bij snijdende lijnen zijn de overstaande hoeken gelijk
• bij evenwijdige lijnen horen gelijke F-hoeken en Z-hoeken

Niet behandeld wordt onder welke andere voorwaarden sprake is van gelijke driehoeken of van gelijk­vormigheid.
Vergrotingen en gelijk­vormigheid

3 Vwo

Hoofdstuk 2 behandelt gelijk­vormigheid en het symbool daarvoor TEDOEN De notatie voor hoeken is gebaseerd op nummering, bijvoorbeeld ∠A₁.

Hoofdstuk 4 heet "Goniometrische Verhoudingen". Hier komt op bladzijde 142 voor het eerste de notatie met drie letters voor een hoek: ∠PQR is de hoek in punt Q tussen de lijnen PQ en QR. In deze hoeknotatie geeft de middelste letter het hoekpunt aan.

In hoofdstuk 7, "Goniometrie" is die notatie dominant.

Hoofdstuk 2 behandelt "stelling en bewijs" in het Vwo deel als extra onderdeel:

• Euclides, de grondlegger van de meetkunde.
• stellingen: een eigenschap of een bewering die je kan bewijzen heet een stelling.
  Bij een stelling hoort een bewijs.
• stelling: in een driehoek is de som van de hoeken altijd 180°.
• stelling: in een vierhoek is de som van de hoeken altijd 360°.
• definitie: een middenparallel in een driehoek is een lijn die twee middens van zijden met elkaar verbindt.
• stelling: een middenparallel is evenwijdig aan de derde zijde en heeft als lengte de helft van die derde zijde.
• stelling: als de middens van de opeenvolgende zijden met elkaar verbonden worden, dan zijn de verbonden middens een parallellogram.
• stelling: twee zwaartelijnen van een driehoek verdelen elkaar in stukken die zich verhouden als 1 : 2
• stelling: de drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één en hetzelfde punt.
• stelling: als de punten A en B op een middellijn van een cirkel liggen, dan geldt voor ieder punt C op de cirkel dat ∠ACB = 90°. (omgekeerde stelling van Thales)
• stelling: als de punten A en B op een middellijn van een cirkel liggen, dan geldt voor ieder punt C op de cirkel dat ∠BMC = 2 × ∠MCA. (stelling middelpunthoek en omtrekhoek).

Ook de VWO leerlingen krijgen niet behandeld onder welke andere voorwaarden sprake is van gelijke driehoeken of van gelijk­vormigheid.

Vergrotingen en gelijk­vormigheid

Bijlage: Stelling van Thales

De Stelling van Thales staat op de examen formulekaart, samen met de omgekeerde stelling. Opvallend is het verschil tussen Moderne Wiskunde en Getal & Ruimte:

• Leerlingen die met Moderne Wiskunde werken, leren de stellingen zoals die op de formulekaart staan verwoord.
• Leerlingen die met Getal & Ruimte werken, leren de stellingen precies andersom
  (vwo NT 6, editie 1999 pag 17).