Girard, Fermat en Pythagoreïsche DrietallenPythagoreïsche drietallen zijn drietallen (a,b,c) met a² + b² = c². Drietallen zijn op verschillende manieren te vinden, bijvoorbeeld door van alles te proberen, met de hand of met hulp van een computer. De oude Babyloniers en de oude Grieken, Pythagoras, Plato en Euclides kenden lang voor de jaartelling bepaalde formules. |
Recept van FermatIn de 17de eeuw onderzochten wiskundigen als Girard en Fermat geheeltallige rechthoekige driehoeken waarvan de rechthoekszijden slechts één verschillen: ( a , a+1 , c ), te beginnen met het drietal (3,4,5).
|
Oeuvres Mathematiques
Les Oeuvres Mathematiques de Simon Stevin de Bruges, le tout reveu, corrigé, & augmenté par Albert Girard, Leyde: Elsevier, 1634 (bladzijde 158)
Bovenstaande passage is niet van Stevin, maar een aanvulling van Girard.
Recept
Fermat bedacht onderstaand recept voor het vinden van primitieve Pythagoreïsche drietallen waarvan de eerste twee getallen slechts één verschillen: ( a , a+1 , c ). Op het eerste gezicht is het een wonderlijk recept. Als je een paar getallen uitrekent, zal je zien dat het klopt. Door bij opdracht 1 de vergelijkingen uit te schrijven zal je zien dat het recept altijd waar is.
In primitief zit het woord priem. Een drietal is een primitief drietal als het geen gemeenschappelijke factor heeft. De grootste gemeenschappelijke deler, kortaf ggd, is dan één. De delers van ieder van de drie getallen zijn dan andere priemgetallen.
Fermat gebruikte een oud recept om iteratief de waarde van √‾2 uit te rekenen. Dat recept was gebaseerd op rechthoekige driehoeken die bijna gelijkbenig zijn: de ene rechthoekszijde is één langer dan de andere: a en a+1!
Voorbeelden bij de formule van Fermat
Onderstaande tabel bevat de eerste twintig primitieve drietallen volgens de recursieve formule van Fermat voor drietallen.
| a | a+1 | c |
| 3 | 4 | 5 |
| 20 | 21 | 29 |
| 119 | 120 | 169 |
| 696 | 697 | 985 |
| 4059 | 4060 | 5741 |
| 23660 | 23661 | 33461 |
| 137903 | 137904 | 195025 |
| 803760 | 803761 | 1136689 |
| 4684659 | 4684660 | 6625109 |
| 27304196 | 27304197 | 38613965 |
| 159140519 | 159140520 | 225058681 |
| 927538920 | 927538921 | 1311738121 |
| 5406093003 | 5406093004 | 7645370045 |
| 31509019100 | 31509019101 | 44560482149 |
| 183648021599 | 183648021600 | 259717522849 |
| 1070379110496 | 1070379110497 | 1513744654945 |
| 6238626641379 | 6238626641380 | 8822750406821 |
| 36361380737780 | 36361380737781 | 51422757785981 |
| 211929657785303 | 211929657785304 | 299713796309065 |
| 1235216565974040 | 1235216565974041 | 1746860020068409 |
Deze getallen groeien bijzonder hard aan. Ook computers hebben er moeite mee. Op internet staan verschillende lijstjes van getallen die aantoonbaar onjuist zijn. Ze zijn vaak te herkennen aan de nullen als laatste cijfers van de getallen. Die nullen suggereren dat de grootste gemene deler een tiental of zelfs honderdtal is.
Girard
Girard was een Frans wiskundige die vanaf 1626 als vestingbouwer en landmeter werkte in het leger van Prins Frederik Hendrik. Hij heeft werk van Simon Stevin in het Frans vertaald en aangevuld. Gelijktijdig met Frans van Schooten Senior heeft hij "Tabulae sinuum" en "Fortification ou Architectvre militaire tant offensive que deffensive" gepubliceerd, in dezelfde jaren, maar bij verschillende drukkers.
Dresden: Opera Mathematica ou Oeuvres Mathematiques traictans De Geometrie, Perspective, Architecture, et Fortification
Wikipedia: Girard
Fermat
Fermat is vooral bekend door de naar hem vernoemde laatste stelling van Fermat. Samen met René Descartes was Fermat één van de twee leidende wiskundigen van de eerste helft van de 17de eeuw.
OpdrachtenBeide opdrachten toetsen de algebraïsche vaardigheden. |
Opdracht 1
De recursieve formule maakt opvolgende drietallen.
- Begin met het drietal ( a , a+1 , c ) = ( 3 , 4 , 5 )
- Bereken ieder volgend drietal ( A , A+1 , C ) recursief
met A = 2c + 3a + 1
en C = 3c + 4a + 2
Bewijs met algebra dat ieder drietal dat met deze recursieve formule gemaakt is een Pythagorees drietal is.
-
Opdracht
Bewijs met algebra dat ieder drietal dat met deze recursieve formule gemaakt is een Pythagorees drietal is.
Antwoord
Te bewijzen voor A = 2c + 3a + 1 altijd C = 3c + 4a + 2 Te beginnen ( 3 , 4 , 5 ) voldoet aan a² + (a+1)² = c² Zodoende 2a² + 2a + 1 = c² En dus ook c² − 2a² − 2a − 1 = 0 Uit A = 2c + 3a + 1 volgt A² = (2c + 3a + 1)² en dus A² = 4c² + 12ac + 4c + 9a² + 6a + 1 Uit A + 1 = 2c + 3a + 2 volgt (A+1)² = (2c + 3a + 2)² en dus (A+1)² = 4c² + 12ac + 8c + 9a² + 12a + 4 Opgeteld A² + (A+1)² = 8c² + 24ac + 12c + 18a² + 18a + 5 Tel daar bij op 0 = c² − 2a² − 2a − 1 Geeft A² + (A+1)² = 9c² + 24ac + 12c + 16a² + 16a + 4 en dat is A² + (A+1)² = (3c + 4a + 2)² Omdat A² + (A+1)² = C² volgt hieruit dat C = 3c + 4a + 2 Hetgeen te bewijzen was.
Opdracht 2
Dickson beschrijft de oplossingsstrategie van Hart.
Hart kreeg de geniale inval om gehele getallen p, q en d te introduceren, waarbij
| c = a | p | − 1 |
| q |
Als d = 1 dan is het drietal ( a , a +1 , c ) en als d = −1 dan is het drietal ( a−1 , a , c )
-
-
Voorbeelden
Hieronder staan getallenvoorbeelden met geschikte p en q.
p q d a a+1 c
1 1 -1 3 4 5 3 2 1 20 21 29 7 5 -1 119 120 169 17 12 1 696 697 985 41 29 -1 4059 4060 5741 99 70 1 23660 23661 33461 239 169 -1 137903 137904 195025 577 408 1 803760 803761 1136689 1393 985 -1 4684659 4684660 6625109 3363 2378 1 27304196 27304197 38613965 8119 5741 -1 159140519 159140520 225058681 19601 13860 1 927538920 927538921 1311738121 47321 33461 -1 5406093003 5406093004 7645370045 114243 80782 1 31509019100 31509019101 44560482149 275807 195025 -1 183648021599 183648021600 259717522849
Opdracht is om aan te tonen dat
| a = | 2q(p + q) |
| d |
-
-
Opdracht
Opdracht is om aan te tonen dat
een oplossing is van a² + (a+1)² = c²a = 2q(p + q) d Antwoord
a² + (a+1)² = c² stelling van Pythagoras a² + (a+1)² = (a p − 1)² q substitutie van c
+1a² + a² + 2a + 1 = a² p² − 2a p q² q haakjes wegwerken 2a² + 2a = a² p² − 2a p q² q gelijknamige termen samennemen of schrappen a² (2 − p² ) + a (2 + 2 p ) = 0 q² q alles naar links en nul stellen a² (2q² − p²) + a (2q² + 2pq) = 0 vermenigvuldigen met q² a² + a (2q² + 2pq) = 0 (2q² − p²) delen door de factor voor a² a² = a 2q(p + q) (p² − 2q²) schrijven als a² = factor × a a² = a 2q(p + q) d substitutie door d a = 2q(p + q) d delen door a geeft de gevraagde oplossing
Opdracht 3
Laat met een berekening zien dat bij de opeenvolgende Pythagorese drietallen het quotiënt van langste zijde en rechthoekszijde steeds dichter bij √‾2 komt te liggen.
Opdracht 4
Bewijs dat √‾2 niet te schrijven is als een breuk.
Wiskundigen noemen √‾2 daarom een irrationaal getal: niet rationaal, geen ratio, geen breuk.
Dickson
De wiskunde achter deze formule is door Dickson beschreven in zijn "History of the theory of numbers" op bladzijde 182.
Heath
In "A manual of Greek mathematics" schrijft deze Engelse professor over de geschiedenis van formules voor Pythagorese drietallen.