www.fransvanschooten.nl

Zonder naar B te gaan

Ook heeft Frans van Schooten constructies gemaakt om de afstand van A naar B op te meten zonder naar B te gaan.

veilig

Frans van Schooten 1615 - 1660

Welkom bij de "Mathematische Oeffeningen" van Frans van Schooten Junior. Hij leefde in de 17de eeuw en gaf zijn leerlingen les in meetkunde.

 

Inleiding

Op deze webpagina staat de relevante meetkunde lesstof van Moderne Wiskunde (Editie 9).


 
 

Posters

posters


top



 

brugklas hoofdstuk 2 Hoeken en Afstanden

In hoofdstuk 2 worden hoeken gemeten. De begrippen recht, scherp en stomp worden toegelicht.

top



 

brugklas hoofdstuk 9 Vlakke Figuren

In hoofdstuk 9 worden vlakke figuren behandeld vanuit hun symmetrie eigenschappen:

top



 

brugklas hoofdstuk 10 Oppervlakte en Inhoud

In hoofdstuk 10 worden lengte, omtrek en oppervlakte behandeld:

top



 

2 vwo hoofdstuk 3 Gelijkvormigheid

Dit hoofdstuk behandelt vergroten en verkleinen met de factor. Hulpmiddel is de verhoudingstabel.

Uitgelegd wordt hoe met een verhoudingstabel de onbekende lengtes uitgerekend worden.
In de plus paragraaf staan opgaven waarin gevraagd wordt om gelijkvormige driehoeken te vinden.
Niet behandeld wordt onder welke andere voorwaarden sprake is van gelijke driehoeken of van gelijkvormigheid.

3, 4, 5

is een pythagorees drietal. Er zijn er nog veel meer. Frans van Schooten heeft een handige lijst gemaakt.

drietallen

top



 

2 vwo hoofdstuk 4 Stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 4 behandelt de Stelling van Pythagoras.

De omkering van de stelling staat in de vwo paragraaf.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started.

top



 

2 vwo hoofdstuk 11 Oppervlakte

Oppervlakte en omtrek van driehoeken, vierhoeken en cirkels is het onderwerp.

top



 

2 vwo hoofdstuk 12 Construeren en redeneren

Meetkundige onderwerpen als construeren met passer en de eigenschappen van merkwaardige lijnen komen aan de orde.

  • de middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn die door het midden van dat lijnstuk gaat en er loodrecht op staat.
     constructie middelloodlijn

  • een scherphoekige driehoek is een driehoek waarvan alle hoeken scherp zijn.

  • een stomphoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek stomp is.

  • de kortste afstand van een punt tot een lijn is de lengte van het lijnstuk dat door dat punt gaat en loodrecht op lijn staat.
     afstand

  • een hoogtelijn is een lijn die uit een hoekpunt komt en loodrecht staat op de zijde tegenover dat hoekpunt (of in het verlengde van die zijde)
     constructie hoogtelijn

  • het hoogtepunt van een driehoek is het snijpunt van de drie hoogtelijnen.

  • een deellijn is de lijn die een hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.
     constructie deellijn

    Alle punten op de deellijn liggen even ver van de benen van die hoek.
    De drie deellijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. (bewijs: zie 5 vwo)

  • als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn, dan ontstaan er gelijke hoeken. De gelijke hoeken vind je in een Z-figuur of een F-figuur.

  • een middenparallel is een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek met elkaar verbindt. Een middenparallel is altijd evenwijdig aan de derde zijde van die driehoek. Een middenparallel is half zo lang als die derde zijde.

In de negende editie is in het onderwerp zwaartelijn en zwaartepunt opgenomen als vwo stof. In het havo/vwo boek staat het in blok 6 als aparte paragraaf na het hoofdstuk.

  • een zwaartelijn is het lijnstuk dat een hoekpunt van een driehoek verbindt met het midden van de zijde er tegenover.

  • het zwaartepunt van een driehoek is het snijpunt van de drie zwaartelijnen.
    Het zwaartepunt verdeelt in stukken die zich verhouden als 2 : 1

In negende editie is de plusparagraaf uit de achtste editie niet overgenomen. Niet langer behandeld worden raaklijnen, ingeschreven en omgeschreven cirkels.
In de achtste editie zijn de volgende begrippen verwoord.

  • de omgeschreven cirkel is de cirkel door de hoekpunten van een driehoek.
    Het snijpunt van de middelloodlijnen is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. (bewijs zie 5vwo)

  • de ingeschreven cirkel raakt aan de drie zijden van een driehoek.
    Het snijpunt van de drie deellijnen is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. (bewijs: zie 5 vwo)

Uitwerkingen

Met Geogebra zijn uitwerkingen gemaakt voor Moderne Wiskunde.

 afstand
 constructie middelloodlijn
 constructie hoogtelijn
 constructie deellijn

top



 

3 Havo

In de negende editie is geen apart hoofdstuk over meetkunde. Wel zijn er hoofdstukken over goniometrie en ruimtefiguren.

3 Vwo

De negende editie is beschikbaar met de bekende hoofdstukken over goniometrie, ruimtefiguren en meetkundig redeneren.

top



 

3 vwo hoofdstuk 7 Goniometrie

hellingsgetal =  hoogte = tangens
afstand
tan ∠A =  overstaande rechthoekszijde van ∠A
aanliggende rechthoekszijde van ∠A

 

sin ∠A =  overstaande rechthoekszijde van ∠A
langste zijde

 

cos ∠A =  aanliggende rechthoekszijde van ∠A
langste zijde

 

top



 

3 vwo hoofdstuk 8 Ruimtefiguren

top



 

3 vwo hoofdstuk 11B Meetkundig redeneren

Dick Klingens

Wiskunde docent Dick Klingens heeft een formidabele nederlandstalige website met veel meetkunde.

hogere meetkunde

Moderne Wiskunde heeft een hoofdstuk 11A en een hoofdstuk 11B. In dat laatste komen aan bod:

De lijst van eigenschappen en definities is completer dan het boek.
De meeste zijn terug te vinden in de opgaven.
De andere zijn opgenomen als naslag voor de bovenbouw.

top



 

Bovenbouw Vwo Wiskunde B

Meetkunde is een Wiskunde B onderwerp voor VWO leerlingen. Het maakt geen onderdeel uit van het Wiskunde A programma en is ook geen verplichte stof voor de Havo.

top



 

4 Vwo hoofdstuk 5 Definities en Stellingen

Uitgelegd worden de vijf congruentiegevallen: ZZZ, ZHZ, HZH, ZHH, ZZR.
Notatie: ∆ABC ≅ ∆DEF
Het zoeken naar vermoedens en het formuleren van het bewijs krijgen veel aandacht.

  • Driehoeksongelijkheid: als de punten A, B en C niet op één lijn liggen, dan geldt |AB| + |BC| > |AC|.

  • In elke driehoek is de som van de hoeken 180°.
     stelling van de hoekensom

  • Stelling van de buitenhoek: voor elke driehoek geldt dat een buitenhoek gelijk is aan de som van de niet-aanliggende binnenhoeken.
     stelling van de buitenhoek

  • In elke driehoek verdeelt een bissectrice de tegenoverliggende zijde in twee delen die zich verhouden als de aanliggende zijden.

  • Gelijkwaardige definities:

    • Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn.
      ⇔ Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden twee aan twee even lang zijn.

    • Een ruit is een vierhoek waarvan alle zijden evenlang zijn.
      ⇔ Een ruit is een vierhoek waarvan de diagonalen de hoeken middendoor delen.

    • Een vierkant is een vierhoek met vier hoeken van 90° en vier even lange zijden.
      ⇔ Een vierkant is een vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn, elkaar middendoor delen en loodrecht op elkaar staan.

    Het overzicht met alle eigenschappen staat bij 3 vwo 11b Meetkundig redeneren. De equivalentie-bewijzen voor een parallellogram staan op Equivalentie Bewijzen Definities Parallellogram.

  • Figuren zijn gelijk­vormig als je kunt aantonen dat aan één van de twee volgende voorwaarden voldaan is.
    de overeen­komstige hoeken zijn gelijk,
    de overeen­komstige zijden zijn met dezelfde factor vermenigvuldigd.
    De notatie: ∆ABC ∼ ∆DEF wordt hier niet gebruikt.

  • Gelijkvormige figuren met vergrotingsfactor één zijn congruent.
    Twee driehoeken zijn congruent als ze gelijk hebben: (f, f, …
    Notatie: ∆ABC ≅ ∆DEF, maar in de praktijk wordt vaak geschreven dat ∆ABC gelijk is aan ∆DEF of ∆ABC = ∆DEF.

    zijde-zijde-zijde ZZZ  
    zijde-hoek-zijde ZHZ
    hoek-zijde-hoek HZH
    zijde-hoek-hoek ZHH
    zijde-zijde-rechte hoek ZZR
    Als van twee driehoeken de overeen­komstige hoeken gelijk zijn, hoek-hoek-hoek (HHH), dan is nog niet zeker dat de driehoeken congruent zijn, ze kunnen een vergroting van elkaar zijn!
     
  • Als de ene figuur een vergroting is van de andere figuur, dan zijn de figuren gelijk­vormig.
    Overeenkomstige regels voor vergrotingen stonden tot voor kort op de formulekaart. In de tabel hieronder staan de verschillende vormen van vergrotingen en hun afkorting. (gewoontegetrouw in kleine letters)

    vergroting-vergroting-vergroting zzz
    vergroting-hoek-vergroting zhz
    vergroting-vergroting-rechte hoek zzr
    hoek-hoek-hoek hhh
     

Lees verder in de bijlage over gelijkvormigheid, vergrotingen en congruenties.
 

Uitwerkingen

Uitwerkingen zijn gemaakt met, voor en door leerlingen van het Cals College Nieuwegein.

uitwerkingen Cals College

Uitwerkingen

Met Geogebra zijn uitwerkingen gemaakt voor Moderne Wiskunde.

 hoekensom driehoek
 stelling van de buitenhoek
 opdracht 9
 opdracht 11

top



 

5 Vwo hoofdstuk 5 Meetkundige Plaatsen

De verzameling van alle punten met eenzelfde eigenschap heet een meetkundige plaats.
Bij meetkundige plaatsen horen stellingen van de vorm:
P ligt op figuur FP heeft eigenschap X.
Je moet zo'n stelling in twee richtingen bewijzen:
Als P op figuur F ligt dan heeft P de eigenschap X, èn als P de eigenschap X heeft dan ligt P op figuur F.

  • De afstand tussen twee punten A en B wordt aangeduid met d(A,B) of met |AB|.
    De afstand tussen een punt P en lijn l of lijnstuk AB wordt aangeduid met d(P,l) of met d(P,AB).
     opdracht 8

  • Een middenparallel verbindt de middens van twee zijden van een driehoek.
    De middenparallel is evenwijdig aan en half zo groot als de derde zijde van die driehoek.
     opdracht V-6

  • De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de lijn die door het midden van AB gaat en loodrecht op AB staat.
     constructie middelloodlijn

    De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de verzameling punten die dezelfde afstand hebben tot de punten A en B.
     opdracht 2  opdracht 3  opdracht 5  opdracht 16

  • Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC, dat is de cirkel die door de punten A, B en C gaat, is het snijpunt van de drie middelloodlijnen van driehoek ABC, dat zijn de middelloodlijnen van de lijnstukken AB, BC en AC.

    1. Als een punt P op de middelloodlijn van AB ligt dan geldt |AP| = |BP|.
    2. Als voor een punt P geldt dat |AP| = |BP| dan ligt P op de middelloodlijn van AB.
       
  • De deellijn van hoek A in driehoek ABC is de verzameling van punten die dezelfde afstand hebben tot de benen van die hoek, dat zijn de lijnen AB en AC.
     constructie deellijn  opdracht 9

  • De ingeschreven cirkel van een driehoek raakt aan de drie zijden van de driehoek. Het middelpunt van die cirkel is het snijpunt van de deellijnen van die driehoek.
     opdracht 13

  • Als een lijn een cirkel in twee punten A en B snijdt, dan heet het verbindingslijn AB een koorde van de cirkel.
    Als een lijn door het middelpunt van een cirkel een gegeven koorde AB middendoor deelt, dan staat deze lijn loodrecht op AB
    Als een lijn loodrecht op koorde AB van een cirkel staat, dan gaat die lijn door het middelpunt van die cirkel.
     opdracht 14

  • De middenparallel is de meetkundige plaats van punten die bij twee evenwijdige lijnen l en m even ver van l als van m af liggen.
     opdracht 20

    Ook het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt en evenwijdig loopt aan de derde zijde van de driehoek heet middenparallel. Deze middenparallel is half zo lang als die derde zijde.

  • Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

top



 

5 Vwo hoofdstuk 6 Cirkeleigenschappen

  • Een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en de benen de cirkel snijden, heet een omtrekshoek.
    Een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van een cirkel heet een middelpuntshoek.
    Bij een boog hoort één middelpuntshoek. Omdat een cirkelboog ook een draaiing om het middelpunt aangeeft kun je een boog ook in graden uitdrukken.
    Boog AB kun je afkorten tot bg AB.

  • Elke omtrekshoek is half zo groot als de bijbehorende middelpuntshoek.

  • Bij gelijke bogen horen gelijke koorden.

  • De hoek tussen een raaklijn en een koorde is gelijk aan de bij die koorde behorende omtrekshoek.

  • Stelling van Thales (zie ook 3vwo)
    Als hoek C in ∆ABC recht is, dan ligt C op de cirkel met middellijn AB.
    opdracht 8

  • Omgekeerde stelling van Thales (NB: in 3vwo staan de stellingen in de omgekeerde volgorde)
    Als punt C op de cirkel met middellijn AB ligt, dan is ∆ABC een recht­hoekige driehoek.
    Thales opdracht 9

  • De meetkundige plaats van alle punten P die aan dezelfde kant van lijnstuk AB liggen met ∠APB = ∠ACB, is de cirkelboog AB die door C gaat.

  • Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen.
    De zijden van de vierhoek zijn koorden van de omgeschreven cirkel.
    De som van twee overstaande hoeken in een koordenvierhoek is 180°.
    Omgekeerd geldt: als de som van twee overstaande hoeken in een vierhoek 180° is, dan is de vierhoek een koordenvierhoek.

Uitwerkingen

Uitwerkingen zijn gemaakt met, voor en door leerlingen van het Cals College Nieuwegein.

uitwerkingen Cals College

Uitwerkingen

Met Geogebra zijn uitwerkingen gemaakt voor Moderne Wiskunde.

top



 

6 Vwo hoofdstuk 3 Conflictlijnen

  • De afstand van een punt P tot een gebied G is gelijk aan de straal van de kleinste cirkel om P die met de rand van G tenminste één gemeenschappelijk punt V heeft.
    Dit punt V heet het voetpunt van P op G.
    De afstand van punt P tot gebied G geef je aan met d(P,G).

  • De iso-afstandslijn op afstand a van een gebied G, kortweg de iso-a-lijn is de meetkundige plaats van alle punten P waarvoor geldt dat d(P,G) = a.

  • Een raaklijnenvierhoek is een vierhoek waarbinnen een punt M bestaat dat even ver van alle vier de zijden ligt.
    De vier bissectrices van een raaklijnenvierhoek snijden elkaar in één punt M.
    Dat punt M is het middelpunt van een ingeschreven cirkel die alle vier de zijden raakt.
    In raaklijnenvierhoek ABCD geldt |AB| + |CD| = |AD| + |BC|.

  • De conflictlijn van twee gebieden G en H is de meetkundige plaats van alle punten P waarvoor geldt dat d(P,G) = d(P,H).

  • Een Voronoi-diagram bestaat uit de grenzen van minstens twee Voronoi-cellen rondom verschillende punten A, B, etc..
    de Voronoi-cel rondom punt A is de verzameling punten die dichter bij punt A liggen dan bij de andere punten van de andere Voronoi-cellen.
    De grenzen van een Voronoi-cel zijn (delen van) de middelloodlijnen van de punten van het Voronoi-diagram.
    Een drielandenpunt S is het punt van een Voronoi-diagram waar drie grenzen bij elkaar komen.

  • De conflictlijn van een lijn l en een punt F buiten l is een parabool.
    Een parabool is de meetkundige plaats van alle punten P waarvoor geldt dat l een lijn is en F een punt is (dat niet op l ligt) en waarvoor geldt dat d(P,F) = d(P,l).
    Punt F heet het brandpunt (focus) van deze parabool.
    Lijn l heet de richtlijn van deze parabool.

  • Een ellips met brandpunten F1 en F2 en lange diameter k is de meetkundige plaats van alle punten P waarvoor geldt d(F1,P) + d(F2,P) = k.

    De brandspuntafstand van deze ellips is d(F1,F2).
    De lange as van de ellips gaat door de punten F1 en F2.
    De korte as ligt op de middelloodlijn van de punten F1 en F2.
    Een ellips is de conflictlijn van cirkel c(M,r) en een punt F binnen die cirkel.
    Voor de punten P op die conflictlijn geldt dus d(P,F) = d(P,c).
    Cirkel c heet een richtcirkel van de ellips.
    Cirkel c(F,r) is de tweede richtcirkel van de ellips.

  • De conflictlijn van een cirkel c en een punt F binnen die cirkel is een ellips.
    Een ellips is de meetkundige plaats van alle punten P waarbij c(M,r) een cirkel is met centrum M en straal r en F een punt is binnen die cirkel en waarvoor geldt dat d(P,F) = d(P,c).
    Toppen van de ellips zijn de snijpunten
    Cirkel c(M,r) en cirkel c(F,r) heten de richtcirkels van deze ellips.

  • Een hyperbool met brandpunten F1 en F2 en kortste afstand k is de meetkundige plaats van alle punten P waarvoor geldt dat |d(P,F1) − d(P,F2)| = k.
    Een hyperbool heeft twee takken.
    Toppen van de hyperbool liggen op lijn door de punten F1 en F2.
    Deze lijn is een symmetrie-as van de hyperbool.
    De middelloodlijn van de punten F1 en F2 is ook een symmetrie-as.

  • De conflictlijn van een cirkel c met middelpunt F1 en een punt F2 buiten die cirkel is een hyperbooltak.
    Deze cirkel is de richtcirkel van de hyperbooltak.
    Een hyperbooltak is de meetkundige plaats van alle punten P waarbij c(F1,r) een cirkel is met centrum F1 en straal r en F2 een punt is buiten die cirkel en waarvoor geldt dat d(P,c) = d(P,F2).
    KLOPT WAT HIER STAAT?

top



 

6 Vwo hoofdstuk 4 Kegelsneden

Voorkennis

  • De conflictlijn van twee punten is een middelloodlijn.
  • De conflictlijn van twee snijdende lijnen zijn de twee bissectrices van de hoeken die door die lijnen worden gevormd.
  • De conflictlijn van twee evenwijdige lijnen is een middenparallel.
  • De conflictlijn van een punt en een lijn is een parabool.
  • De conflictlijn van een cirkel en een punt binnen die cirkel is een ellips.
  • De conflictlijn van een cirkel en een punt buiten die cirkel is een hyperbooltak.

Kegelsneden

  • De doorsnede van een kegel en een vlak V dat niet door de top van de kegel gaat is een kegelsnede.

  • Cirkels, ellipsen, hyperbolen en parabolen zijn kegelsneden.

  • De kegelsnede is een cirkel als de hoek tussen het vlak en de as van de kegel recht is.

  • De kegelsnede is een parabool als de hoek tussen het vlak en de as van de kegel gelijk is aan de halve tophoek van de kegel.

  • De kegelsnede is een parabool als de hoek tussen het vlak en de as van de kegel groter is dan de halve tophoek van de kegel.

  • De kegelsnede is een hyperbool als de hoek tussen het vlak en de as van de kegel kleiner is dan de halve tophoek van de kegel.

Raaklijnen

  • De raaklijn in punt R aan een parabool maakt gelijke hoeken met de lijnen van R naar het brandpunt en het voetpunt van R op de richtlijn.
  • De raaklijn in punt R aan een ellips maakt gelijke hoeken met de lijnen van R naar de beide brandpunten.
  • De raaklijn in punt R aan een hyperbool maakt gelijke hoeken met de lijnen van R naar de brandpunten.

top



 

6 Vwo Blok 2 Geschiedenis van de Wiskunde

In blok 2 staat het verhaal over de tractrix zoals die beschreven is door Christiaan Huygens.

Over de tractrix zijn verschillende artikelen geschreven door Bos.
literatuurlijst H.J.M. Bos
Google Books

Op de website van Davidse staan transcripties van de oorspronkelijke tekst.
Transcripties

 

top



 

6 Vwo Blok 2 Tekeninstrumenten

In de ICT paragraaf van blok 2 staan de tekeninstrumenten die Frans van Schooten ontwierp voor kegelsneden.

Opdracht 1


applet

Opdracht 2


applet

Opdracht 3


applet

Opdracht 4


applet

Opdracht 5


applet

Opdracht 8


applet

Opdracht 9


applet

 

top



 

Sint Gregorius College

Leerlingen van het Sint Gregorius College in Utrecht hebben werkende tekeninstrumenten gemaakt van hout, Meccano en Knex.

Opdracht 2


Opdracht 3


Opdracht 4


Opdracht 5


Opdracht 8


Opdracht 9


 

top