Omdat ... Daarom ... Dus ...Een meetkundige redenering bouw je op in kleine, overzichtelijke stappen. Je begint allereerst met op te schrijven wat gegeven is, want dat is alles waar je vanuit mag gaan.
Daarna bouw je de redenering op.
Die sluit je af met de conclusie dat je het gevraagde bewezen hebt.
|
Metselen
Metselen van een muur
Het opschrijven van een bewijs lijkt op het metselen van een muur. Je begint met de onderste rij met stenen. Daar rust de rest van de muur op. In een meetkundige redenering doe je net zo: je begint met op te schrijven wat gegeven is. Dat is je basis. Vervolgens moet iedere steen op een andere steen gemetseld worden. Zo bouw je ook een redenering op. Iedere steen is een Omdat ... Daarom ... Dus ..... Iedere steen rust op een andere steen. Iedere stap in de redenering bouwt verder op een f meer voorgaande stappen.
Tip is om de stappen te nummeren. Zo kun je in iedere Omdat verwijzen naar de nummers uit voorafgaande Dus. Zo laat je precies zien hoe je bewijs is opgebouwd.
Historie
De geschiedenis van het meetkundig redeneren is al heel oud. Beroemd zijn de Griekse wiskundigen Thales, Euclides, Archimedes en Apollonius. Euclides leefde in Alexandrie. Dat ligt in Egypte. Hij is bekend om zijn systematische behandeling van de meetkunde. Euclides schreef "De Elementen", een boek uit dertien delen. Dat boek is logisch opgebouwd met definities, stellingen en bewijzen. In de 16de en 17de eeuw bewonderden mensen die rationaliteit. Van Schooten Junior verwees in zijn boeken altijd naar de proposities van Euclides. De stelling van Pythagoras is propositie 47 in boek I. Meetkundig redeneren in de stijl van Euclides is tot eind jaren zestig van de vorige eeuw een belangrijk onderdeel van het wiskunde programma geweest. Na die tijd is de klasssieke meetkunde grotendeels vervangen door andere wiskundige onderwerpen. Ook veranderd is de manier waarop meetkunde behandeld wordt. Nu staan centraal de concepten gelijkvormigheid en vergroting. De opdrachten op deze website zijn daarop aangepast.
Voorbeeld van een redenering
Gegeven driehoek ABC met hoeken A, B en C, te bewijzen is dat de som van de drie hoeken twee keer een rechte hoek is, oftewel ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
- Verschuif lijn AB totdat het door punt C gaat. Resultaat is een lijn evenwijdig aan zijde AB door punt C. Punt C is nu het snijpunt van de lijnen AB, AC en de lijn evenwijdig aan AB. Omdat deze lijn verkregen is door een verschuiving zijn de hoeken in punt C gelijkvormig met de hoeken in de punten A en B.
- Lijn AC snijdt beide evenwijdige lijnen in punt A en in punt C. Omdat, naar de aard van de constructie, beide lijnen evenwijdig zijn (stap 1), daarom is ∠BAC gelijk aan zowel de overeenkomstige hoek in punt C als aan de overstaande hoek. Het zijn dus Z-hoeken.
- Lijn BC snijdt ook beide evenwijdige lijnen: te weten in punt B en in punt C. Omdat beide lijnen evenwijdig zijn (stap 1), daarom is ∠ABC gelijk aan zowel de overeenkomstige hoek in punt C als aan de overstaande hoek. Ook dit zijn Z-hoeken.
- Omdat de lijn door punt C een rechte lijn is (stap 1), daarom is de hoek in punt C een gestrekte hoek, dat wil zeggen 180°.
- In punt C is de gestrekte hoek (stap 4) verdeeld in drie hoeken (stap 1). Daarom zijn die drie hoeken in punt C samen 180°.
- De drie hoeken in punt C zijn samen 180°, een gestrekte hoek (stap 5). Omdat de ene hoek gelijk is aan ∠BAC (stap 2) en de andere hoek gelijk is aan ∠ABC (stap 3) en de derde hoek ∠ACB is, daarom zijn die drie hoeken samen 180°. Dus zijn de drie hoeken van de driehoek samen 180°.
Hiermee is bewezen dat de som van de hoeken van een driehoek altijd samen 180° zijn.
