Onderzoek zelf de driehoek met GeogebraHuiswerk
In driehoek ABC zijn gegeven de punten D en E op zijden AB en AC: te vinden een punt F op zijde BC, zodanig dat bij het trekken van DF en EF de hoeken BDF en CEF even groot zijn.
Deze opdracht stuurde Frans van Schooten in 1648 in een brief aan de negentien-jarige Christiaan Huygens.
Zomer 2011 is door verschillende mensen gewerkt aan verschillende oplossingen, gebruik makend van diverse wiskundige technieken. Zo is een oplossing gevonden in de stijl van Frans van Schooten met een tekeninstrument. Eerder heeft Bottema in 1967/'68 over deze opdracht geschreven in Euclides. Ook zijn oplossingen staan op deze webpagina.
Frans van Schooten heeft in 1646 een boek geschreven over hoe je kegelsneden met tekeninstrumenten kon tekenen. De Nederlandse vertaling verscheen in 1660 als Van de Tuych-werckelicke beschrijving der Kegel-sneden op een vlack. In zijn stijl is zomer 2011 een applet voor een tekeninstrument gemaakt.
|
Korte opdracht, maar niet triviaal Aantrekkelijk aan deze opdracht is dat de vraagstelling heel duidelijk is en dat met een beetje schuiven van punt F op zijde BC een bijna-oplossing snel gevonden is.
Zomer 2011 is door verschillende mensen gewerkt aan verschillende oplossingen, gebruik makend van verschillende wiskundige technieken als middelbare school meetkunde, projectieve meetkunde, algebra, proposities van Apollonius.
In 1967/68 heeft Bottema verschillende uitwerkingen gepresenteerd in het tijdschrift Euclides.
Wat toen ontbrak was een uitwerking zoals Frans van Schooten die gedaan zou hebben in de geest van zijn Tractaet van de Tuych-werckelycke beschryving der kegel-sneden op een vlack, het vierde boek van de "Mathematische Oeffeningen".
Op deze website staat een overzicht van al zijn tekeninstrumenten, inclusief beschrijvingen, animaties en bewijzen.
Verrassing: een hyperbool Het tekeninstrument trekt een hyperbool. Boeiend is dat de vergelijking van de hyperbool zich redelijk makkelijk laat vinden, dat wil zeggen met weinig algebraïsche inspanning, en er standaard uit ziet: x × y = constant. Interessant is de opening richting projectieve meetkunde. De hyperbool is belangwekkend omdat volgens de theorie iedere kegelsnede zich laat vinden met passer en liniaal. Die constructie blijkt er ook te zijn. Groenman maakte bij zijn constructie doeltreffend gebruik van de koordenvierhoek. Met een beetje hulp is dit alles voor 6 vwo best te doen.
|
Uitwerking
Een uitwerking en een bewijs staan op een aparte webpagina.
Bottema: Verscheidenheden LXVII
In 1967 schreef Bottema in zijn rubriek Verscheidenheden in Euclides over deze brief van Frans van Schooten aan Christiaan Huygens. Volgens Bottema is niet bekend of Van Schooten dan wel Huygens een oplossing gepubliceerd hebben. Bottema gaf zelf een planimetrische oplossing met veel sinus en cosinus. Lezers gaven daarna meer elementair meetkundige oplossingen.
Tekeninstrument à la Van Schooten
Frans van Schooten heeft in zijn 
De organica conicarum ... uit 1648 een groot aantal tekeninstrumenten bedacht om ellipsen, parabolen en hyperbolen te trekken.
Rechts staan een aantal voorbeelden.
Hij had onderstaand tekeninstrument zeker kunnen bedenken.
De werking sluit aan op het tekeninstrument van bladzijde 311 van de "Mathematische Oeffeningen" van 1660.
Het tekeninstrument is bedacht om de meetkundige plaats van punt F te vinden. Idee achter het tekeninstrument is om twee linialen zodanig te laten bewegen dat de linialen even grote hoeken met de zijden AB en AC van driehoek ABC maken. Punt F' is het snijpunt van de linialen en ∠BDF' = ∠CEF'. Het instrument bestaat uit zes linialen die aan elkaar vast zitten met scharnieren of pinnen. De bedoeling is dat die pinnen soepel door gleuven in de linialen bewegen. Liniaal AMA' is de diameter van de omgeschreven cirkel. Linialen MP en MP' zijn stralen van die cirkel. Ze zijn met scharnieren vastgezet. Zodoende kan punt P een cirkelboog doorlopen. Loodrecht op liniaal AM schuift liniaal PP'. Deze liniaal heeft een gleuf en twee pinnen op de plaats van de punten P en P' en houdt zo punt P' tegenover punt P ten opzichte van middellijn AMA'. Daardoor bewerkstelligt het tekeninstrument dat ∠AMP = ∠AMP'. De linialen DP' en EP maken daardoor gelijke hoeken met driehoek ABC en snijden elkaar in punt F'. Frans van Schooten bedacht dat een potlood op het snijpunt van twee linialen met gleuven de meetkundige plaats aangeeft. De linialen DP' en EP hebben gleuven en een potlood in het snijpunt. Dus is punt F' de meetkundige plaats.
Schets
Uitwerkingen en bewijzenOpdracht In driehoek ABC zijn gegeven de punten D en E op zijden AB en AC: te vinden een punt F op zijde BC, zodanig dat bij het trekken van DF en EF de hoeken BDF en CEF even groot zijn. Inhoudsopgave
|
Bewijs op het tekeninstrument
Het tekeninstrument bewerkstelligt dat ∠AMP = ∠AMP'. De linialen DP' en EP maken daardoor gelijke hoeken met de zijden AB en AC van driehoek ABC en snijden elkaar in punt F'. Dus is punt F' de meetkundige plaats waar ∠BDF' = ∠CEF'.
Omdat ADP' + APP' = 180° (koordenvierhoek),
daarom ∠APP' = 180° − ∠ADP'.
Omdat ∠ADP' + ∠BDP' = 180° (gestrekte hoek),
daarom ∠BDP' = 180° − ∠ADP' = ∠APP'.
Omdat ∠AMP' = 2 × ∠APP' (omtrekshoek),
daarom ∠AMP' = 90° − ½ × ∠ADP' .
Omdat ∠AMP' = ∠AMP (per definitie),
daarom ∠AMP = 2 × ∠APP'.
Omdat ∠AEP = ½ × ∠AMP (omtrekshoek),
daarom ∠AEP = ∠APP' .
Omdat ∠AEP + ∠AEF' = 180° (gestrekte hoek),
daarom ∠AEF' = 180° − ∠APP' = ∠ADP'.
Omdat ∠AEF' + ∠CEF' = 180° (gestrekte hoek),
daarom ∠CEF' = 180° − ∠AEF' = 180° − ∠ADP' = ∠BDP' = ∠BDF.
Korter is de redenering dat omdat boog A'P even groot is als boog A'P' dat daarom boog AP even groot is als boog AP' en dat dus hoek ADP' even groot is als hoek AEP.
Daarmee is bewezen dat het tekeninstrument zorgt voor even grote hoeken. Dus geeft het tekeninstrument de gevraagde meetkundige plaats en zo is punt F te construeren op zijde BC.
Uiteraard zijn er ook andere manieren om dat gevraagde punt F te vinden en ook is het interessant te weten wat voor kromme die meetkundige plaats is. Dat blijkt een hyperbool te zijn. Volgens de theorie betekent dit dat een constructie met passer en liniaal mogelijk moet zijn. Daarom gaat het vervolg van deze webpagina over die hyperbool. Eerst wordt de overeenkomst met de hyperbolograaf van Frans van Schooten toegelicht. Daarna volgt een algebraïsche weg om de kromme te beschrijven en een projectief meetkundige. Tot slot wordt een meetkundige constructie gegeven met een cirkel als meetkundige plaats.
Overeenkomst met de hyperbolograaf van Frans van Schooten
Frans van Schooten presenteerde verschillende hyperbolografen en gaf meetkundige bewijzen die gebaseerd zijn op de proposities van Euclides en Apollonius. Hieronder staat de applet .
Op bladzijde 306 en 307 bewees Frans van Schooten dat de meetkundige plaats van punt ε een hyperbool is met asymptoten MAF en HAD. Daarbij verwijst hij naar de proposities van Apollonius. In de applet is aan punt ε een potloodje verbonden om de hyperbool te tekenen. Punt E ligt op de hyperbool, evenals punt K. Lijn DEM is een raaklijn. Punt d beweegt over asymptoot HAD en sleept winkelhaak dbε met zich mee, waarbij bd = AB = BD en bε evenwijdig aan BE. Zomer 2010 is een toelichting geschreven op dit bewijs.
Er zijn een paar verschillen tussen het tekeninstrument bij deze opdracht en de hyperbolograaf op bladzijde 306. Het tekeninstrument bij deze opdracht heeft een extra liniaal (EF) en ontbeert winkelhaak dbε. Aangetoond zal worden dat de extra liniaal de functie van de winkelhaak vervult en dat beide instrumenten functioneel gelijkwaardig zijn. Conclusie is daarom dat het tekeninstrument een hyperbool produceert.
Hieronder volgt het bewijs.
In de hyperbool van Van Schooten beweegt winkelhaak dbε over asymptoot ABD met bε evenwijdig aan BE en bd = AB = BD. In het tekeninstrument beweegt winkelhaak dbε over asymptoot TRQ met bε evenwijdig aan DR en evenwijdig aan de deellijn van punt A en bd = AB = BD. Achtereenvolgens bewijzen we overeenkomstige evenwijdigheid, overeenkomstige asymptoten en gelijke lengtes en trekken dan de conclusie dat het tekenapparaat functioneel gelijkwaardig is aan de hyperbolograaf van Van Schooten.
Lijn F'VW is de deellijn van punt F' met punt V op zijde AB en punt W op het verlengde van AC. Omdat driehoek F'VD gelijkvormig is met driehoek F'EW vanwege de even grote deelhoeken in punt F' en vanwege door de constructie even grote hoeken in punt D en E, daarom ∠F'VD = ∠F'WE. Vanwege de overstaande hoek is ∠F'VD = ∠AVW. Daarom is ∆AVW gelijkbenig en de buitenhoek in punt A is dus het dubbele van de basishoek: ∠DAE = ∠AVW + ∠AWV = 2 ×∠AWV. De deellijn in punt A halveert ∠DAE, waardoor de deelhoeken even groot zijn als de basishoeken van ∆AVW. Omdat de hoeken in punt A en W even groot zijn, daarom zijn het F-hoeken en dus is de deellijn van punt A evenwijdig aan lijn F'VW, de deellijn van hoek F'. Conclusie: de deellijnen van hoek A en hoek F zijn evenwijdig.
Het tekeninstrument heeft twee asymptoten, namelijk een asymptoot evenwijdig aan de deellijn van hoek A en een asymptoot daar loodrecht op. In de tekening zijn dat een verticale en een horizontale asymptoot met punt Q als centrum: het midden van de punten D en E. De asymptoten staan loodrecht op elkaar. Bij Van Schooten is punt A het centrum van de hyperbool, in het tekeninstrument is dat punt Q.
De punten A en A' behoren tot de meetkundige plaats want daar vallen de punten P en P' samen zodat P = P' = F'. Ook het punt D behoort tot de meetkundige plaats want daar vallen de punten P, D en F' samen, idem punt E want daar vallen de punten P', E en F' samen.
Op de verticale asymptoot van het tekeninstrument is punt R het snijpunt van de horizontale asymptoot met de lijn door punt D evenwijdig aan de verticale asymptoot. Bij Van Schooten is AB een asymptoot, in het tekeninstrument is QR de overeenkomstige asymptoot. Bij Van Schooten is AF de andere asymptoot en lijnstuk EB is daar evenwijdig aan. In het tekeninstrument is de lijn door Q, loodrecht op QR de overeenkomstige asymptoot en is DR het overeenkomstige lijnstuk.
Bij Van Schooten is door de constructie bε evenwijdig aan BE, in het tekeninstrument is door de constructie de overeenkomstige bε evenwijdig aan de verticale asymptoot.
Bij Van Schooten is door de constructie bd = AB,
maar in het tekeninstrument ontbreekt deze relatie. Hierover gaat het vervolg van het bewijs.
In het tekeninstrument is punt ε gelijk aan punt F'.
De punten b en d liggen op de horizontale asymptoot met punt b op lijn DF' en punt b op de lijn door punt F' evenwijdig aan de verticale asymptoot.
Te bewijzen is dat in het tekeninstrument de overeenkomstige bd even lang is als de overeenkomstige QR in de hyperbolograaf.
In de laatste tekening zijn enkele punten toegevoegd. Punt D'' is het spiegelbeeld van punt D in de horizontale asymptoot dRQ en punt E'' is het spiegelbeeld van punt E en punt R' is het midden van de punten E en E'' zoals punt R is het midden van de punten D en D''. Figuur DD''EE'' is dus een rechthoek met midden Q en DE'' = D''E = 2 × QR.
Punt d' is het snijpunt van liniaal EF' met de horizontale asymptoot.
Omdat bε een deellijn is, daarom is ∆dbε congruent met ∆d'bε.
Vanwege de overstaande hoek is ∠R'd'E = ∠RdD.
Omdat ook R'E = RD en de overeenkomstige rechte hoek,
daarom is ∆d'R'E congruent met ∆dRd
en dus dR = d'R'.
Hieruit volgt dat dd' = RR' = 2 × db = 2 × QR.
Hiermee is bewezen dat db = QR.
Conclusie is dat het tekeninstrument gelijkwaardig is aan de hyperbolograaf van Van Schooten.
Omdat Frans van Schooten bewezen heeft dat de meetkundige plaats van zijn hyperbolograaf een hyperbool is,
daarom is ook de meetkundige plaats van het tekeninstrument een hyperbool.
Hieronder staat een aanvullend bewijs op basis van de proposities van Apollonius zoals Frans van Schooten het ook zou hebben gedaan.
Algebra met coördinaten
Ten opzichte van een slim gekozen assenstelsel is vierhoek ADFE een figuur met een aantal deelhoeken en andere even grote hoeken. Slim gekozen is dat de y-as evenwijdig is aan de deellijn van hoek A en dat de x-as daar loodrecht opstaat met als oorsprong het midden van lijnstuk DE. Punt Q is de oorsprong met coördinaten (0,0). De coördinaten van punt E zijn (d,e) en van punt D (-d ,-e) en van punt F (x,y), waarbij zowel d als e positief zijn en groter dan nul. Punt F is de meetkundige plaats van alle punten met ∠BDF = ∠FEC (oftewel ∠ADF = ∠AEF). Reeds bewezen is dat de deellijn van hoek F evenwijdig is aan de deellijn van hoek A. Hieruit volgt dat de richtingscoëffiënten van DF en EF even groot zijn, maar met tegengesteld teken.
| Richtingscoëfficiënt DF is: |
| ||||||
| Richtingscoëfficiënt EF is: |
| ||||||
| Alle punten F voldoen aan de vergelijking: | rcDF + rcEF = 0. | ||||||
| De vergelijking is dus: |
| ||||||
| Noemers gelijknamig maken geeft: | (y + d)(x − e) + (y − d)(x + e) = 0 | ||||||
| Haakjes werken levert op: | xy = ed |
Conclusie is dat alle punten F (x,y) die voldoen aan de hyperbolische vergelijking xy = ed
behoren tot de meetkundige plaats van het snijpunt F.
Met dank aan W. van der Kallen, universiteit Utrecht, voor deze elegante oplossing.
Als ook de vergelijking van lijn BC gegeven is (in dit slim gekozen assenstelsel),
dan laten de coördinaten van punt F zich berekenen door de vergelijking van de kromme gelijk te stellen aan die van de lijn.
Met dank aan WisFaq, voor deze oplossing.
Projectieve meetkunde
De werking van het tekeninstrument laat zich verklaren met projectieve meetkunde.
Gegeven is de cirkel met de punten A, D en E.
De punten P en P' bewegen over de cirkel. Met punt P1 correspondeert punt P'1, met punt P2 correspondeert punt P'2, etc.
Alle lijnen DP' vormen de stralen van de waaiers uit punt D, idem de lijnen EP de stralen uit de waaier van punt E.
De afbeelding EP naar P is een projectiviteit vanwege de cirkel.
De afbeelding P naar P' is een projectiviteit want een spiegeling in de middellijn AMA'.
De afbeelding P' naar DP' is een projectiviteit vanwege de cirkel.
De afbeelding EP naar DP' is dus ook een projectiviteit.
De snijpunten van corresponderende stralen van de projectieve waaiers uit D en E is dus een kegelsnede.
Er is een asymptoot omdat het mogelijk is dat DP' evenwijdig is aan EP.
Conclusie is dat de meetkundige plaats van de snijpunten een hyperbool is.
NB: ook zonder cirkel is deze projectiviteit te beschrijven in termen van een translatie van E naar D, een rotatie en een spiegeling.
Jammer genoeg kende Frans Van Schooten deze korte aanpak niet.
Hij grijpt terug op de proposities van Apollonius en dat is veel meer werk.
Met dank aan M. Kindt, Freudenthal Instituut, voor deze elegante oplossing.
Bewijs Bottema
Bottema leverde (aanzetten tot) een projectief meetkundige, een analytische en een goniometrische oplossing.
Bewijs Groenman
Groenman reageerde in 1968 met een constructie op basis van spiegeling en een koordenvierhoek. Met enige hulp is deze constructie een pittige opdracht voor 6 vwo leerlingen.
Met een passer kunnen de punten A' en E' geconstrueerd worden. De zijden AB en A'C kunnen met een liniaal verlengd worden tot punt G. Met een passer kan de omgeschreven cirkel van driehoek GDE' getrokken worden. Punt F is dan het snijpunt van die omgeschreven cirkel met zijde BC.
Het bewijs voor de juistheid van deze constructie is gebaseerd op de koordenvierhoek. Ondanks dat de ligging van punt F niet gegeven is, mag wel gebruik gemaakt worden van haar eigenschap: ∠BDF = ∠CEF. Na spiegeling geldt bovendien ∠BDF = ∠CEF = ∠CE'F. Omdat ∠CE'F + ∠A'E'F = 180° (gestrekte hoek) daarom ook ∠BDF + ∠A'E'F = 180° en dat impliceert dat vierhoek GDFE' een koordenvierhoek is waarvan alle punten op één cirkel liggen, bijvoorbeeld de omgeschreven cirkel van de punten G, D en E'. Omdat deze omgeschreven cirkel construeerbaar is, is punt F construeerbaar als het snijpunt van de cirkel met zijde BC.
Hyperbool volgens Apollonius
Kenmerkend voor een hyperbool is volgens Apollonius dat voor ieder punt b geldt dat dD = εS. Bovendien moet altijd gelden dat bQ × bε = QR × DR. Hieronder wordt bewezen dat het tekeninstrument een kromme produceert die aan deze voorwaarden voldoet en dus een hyperbool produceert.
Omdat DR evenwijdig is aan bε en aan QS, daarom zijn de driehoeken dRD, dbε en dQS gelijkvormig.
Uit
| |||||||||||
volgt
| |||||||||||
| Omdat db = QR (zie boven) daarom is dR = bQ en dus dD = εS. | |||||||||||
| Ook aan de voorwaarde bQ × bε = QR × DR wordt voldaan, | |||||||||||
want omdat
daarom QR × DR = db × DR = dR × bε = bQ × bε. | |||||||||||
| Conclusie: de kromme voldoet aan beide voorwaarden en is dus een hyperbool!
Hetgeen te bewijzen was. NB: Apollonius bewees dat een hyperbool beide eigenschappen heeft, maar bewees niet dat een kromme met die eigenschappen altijd een hyperbool is. Dit bewijs kan met tegenspraak redelijk eenvoudig bewezen worden. Van Schooten moest dus eigenlijk nog één stap extra zetten, maar vond die kennelijk zo evident dat hij vrijelijk verwees naar de proposities van Apollonius. |
