Uitwerkingen Hoofdstuk 4 Kegelsneden

Alle aandacht gaat uit naar de hoek die het vlak maakt met de kegel, maar er is meer. Het vlak staat nu recht maar lijkt ook scheef te kunnen staan. Is dat echt zo? Bij Wiskunde D leer je hoe je hierop antwoord kunt geven met vectoren.
Lijn a is de hartlijn van de kegel. Het vlak kan de hartlijn op verschillende plaatsen snijden. Bijzondere situaties ontstaan als het vlak door de top van de kegel gaat. Cirkel, ellips en parabool worden dan een punt, maar de twee hyperbooltakkken worden twee rechte lijnen.

De kegelsnede van de hyperbool door de top geeft twee rechte lijnen, maar uit de definitie van de meetkundige plaats is dat niet direct duidelijk. Als de toppen van de hyperbool samenvallen, T₁ = T₂ dan vallen ook de punten van de richtcirkel daar mee samen T₁ = T₂ = V₁ = V₂ en dus ook de brandpunten T₁ = T₂ = V₁ = V₂ = F₁ = F₂.
Resultaat is dat ook de hyperbool een punt wordt!
Andere manier van kijken is om in een aantal stappen de brandpunten steeds verder weg te plaatsen. Daardoor lijken de toppen relatief steeds dichter bij elkaar te komen.
Moraal: redeneren met "gaat naar nul" en "gaat naar oneindig" kunnen tot boeiende uitkomsten leiden.

Wiskundige Dirk Huylebroeck, stand-upcomedian Bert Kruismans en eerste eredame van Miss België Kaat Vermeeren brachten gisteren uitleg, humor en kleur aan de voorstelling van de Coupe Belge. Het ijsje wordt geserveerd in een kegelvormige coupe, met één kleine bol aardbei (Walen), een grote bol banaan (Vlamingen), gescheiden door een taalgrenskoekje, maar met zwarte chocoladesaus over beide bollen (Brusselaars), legt Oostendse wiskundige Dirk Huylebroeck uit. De twee bollen moeten de kegel perfect raken, waardoor op het koekje in ellipsvorm twee brandpunten ontstaan. De verdienste van de Belgische stelling van Dandelin (1794-1847) is dat eigenschappen van vlakke figuren voor het eerst in verband zijn gebracht met de eigenschappen van ruimtelijke figuren als een kegel. Voor stand-upcomedian Bert Kruismans, deze zomer te zien tijdens de Humor Zesdaagse van het Kursaal, is de link tussen de Coupe Belge en de Belgische stelling duidelijk. België is altijd al een land van stellingen geweest. Kijk maar naar de vele kathedralen in ons land. Het is ook typisch Belgisch dat je een stelling kan aantonen met eten. Wij communiceren gewoon altijd met eten. Het feit dat er vandaag zoveel aandacht wordt besteed aan een wiskundige stelling zegt eigenlijk genoeg, grapt de Vlaamse komiek. In de maanden juli en augustus kan iedereen voor vijf euro de Coup Belge opsmullen op het terras van Coffeehouse in het Kursaal. Een bijgevoegde onderlegger legt daarbij alle geheimen van het ijsje én de Belgische stelling bloot.