AE = AD
BD = EF

Opdrachten

Hiernaast staat driehoek ABC met punten D, E, F en G. Ook staat er hoe die driehoek geconstrueerd is. In negen stappen ga jij aantonen dat in iedere gelijk­benige driehoek ABF met AE = AD en BD = EF altijd geldt dat ∠DAG = ∠FAG, dat lijn AG de deellijn is van ∠BAC en dat de erfenis dus eerlijk verdeeld is.

  1. Construeer gelijk­benige driehoek ABF met een willekeurige hoek in punt A. Kies de punten D en E zodanig dat AD = AE en DB = EF.
     
    In het voorbeeld hiernaast lijken de hoeken in de punten D en G misschien recht, maar zijn beslist niet recht. Als jij denkt dat die hoeken wel altijd recht zijn, teken dan ∆ABF met ∠FBG = ∠GBD = ∠BFG = ∠GFE = 15°. Bereken vervolgens de hoeken in punt G. Met dit tegen­voor­beeld toon je aan dat de hoeken in punt G geen rechte hoeken zijn.
  2. Toon aan dat ∆ABE = ∆AFD en dat dus BE = DF en ook ∠ABE en ∠AFD.
  3. Toon aan dat ∠ABF = ∠AFB.
  4. Toon aan dat ∆BDF = ∆BEF en dat dus ∠FBE = ∠DFB en ook ∠BDG = ∠FEG.
  5. Toon aan dat ∆BFG gelijk benig is en dat dus BG = FG.
  6. Toon aan dat ∆BDG = ∆FEG en dat dus DG = EG.
  7. Toon aan dat ∆ADG = ∆AEG en dat dus ∠DAG = ∠EAG.
  8. Laat zien dat ∠DAG en ∠EAG ieder gelijk zijn aan de helft van ∠BAC en dat dus lijn AG de deellijn in ∠A is.
  9. Leg uit dat de erfenis van de boer eerlijk verdeeld is omdat er voor ieder punt aan de ene kant van de deellijn een punt is aan de andere kant van de deellijn op gelijke afstand van punt A.
Teken een gelijkzijdige driehoek ABF met ∠A = 120° en basishoeken ∠B = ∠C = 30°.
Gelijk wil zeggen: gelijke zijden en gelijke hoeken en dus gelijk­vormig met vergrotings­factor één!
Let op: vooraf weet je nog niet dat BE = DF en ook weet je niet dat ∠ABE = ∠AFD of dat ∠BEA= ∠FDA.
Als AB=AF dan is ∆ABF gelijk benig.
Als van twee driehoeken twee paar overeenkomende zijden even lang zijn en als de hoeken tussen die zijden even groot zijn, dan zijn de driehoeken aan elkaar gelijk.
Een gelijk­benige driehoek heeft twee gelijke basishoeken.
 
Als alle overeen­komstige zijden gelijk zijn, dan zijn de driehoeken gelijk.
Als de driehoeken gelijk zijn, dan zijn ook de hoeken gelijk.
De deellijn is een symmetrielijn.