Gegeven werkstuk II.a

Gegeven zijn twee punten A en B, lijn AB, punt C op lijn AB, punt D buiten lijn AB met ∠ADB  = 90° en lijn BD. Punt E ligt op lijn AD met AD × AE = AB × AC (dwz

AD	=	AC
AB	AE

).

Meetkundige plaats

Cirkel ACE is de meetkundige plaats van alle punten P met als eigenschappen dat er een punt Q is op lijn BD, dat punt P op lijn AQ ligt en dat AQ × AP = AB × AC.

Beweging

Als punt Q over lijn BD beweegt, dan beweegt punt P over cirkel ACE zodanig dat de punten A, P en Q op één lijn liggen en dat AQ × AP = AB × AC.

Bijzonderheden

• Punt E mag overal op lijn AD liggen; zowel tussen de punten A en D als in het verlengde van A als in het verlengde van D.
• Omdat ∠ACE =∠ADB = 90° ligt punt C op een cirkel met middellijn AE.
• Omdat AD × AE = AB × AC, is

  AD	=	AC
  AB	AE

  en dus ∆ADC is gelijkvormig aan ∆ABE
• anders geformuleerd

  AD	=	AB
  AC	AE

  oftewel ∆ABD is gelijkvormig aan ∆AEC
• Omdat AQ × AP = AB × AC is

  AQ	=	AC
  AB	AP

  en dus ∆AQC is gelijkvormig aan ∆ABP
• anders geformuleerd

  AQ	=	AB
  AC	AP

  oftewel ∆AQB is gelijkvormig aan ∆ACP

Bewijs

Omdat driehoek BAD en EAC de overstaande hoek gemeenschappelijk hebben en de aanliggende zijden tot elkaar staan in dezelfde verhouding, is ∆BAD een vergroting van ∆AEC en dus is ∠ADB = ∠ACE en en ∠ABD = ∠AEC.