substitutie

1.   

   • Opdracht Gegeven het verschil V en de verhouding L : N van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.	Stelsel vergelijkingen A − B = V A = L B N
     Uitwerking Uit V = A − B volgt A = B + V. Uit A = L B N volgt B + V = L, B N dus N × (B + V) = L × B, dus N × B + N × V = L × B, dus N × V = L × B − N × B, dus N × V = B × (L − N) en daarom B = N × V L − N . Uit A = B + V volgt A = N × V + V L − N dus A = N × V + V × L − N L − N L − N dus A = N × V + V × L − V × N N − L en daarom A = L × V L − N .	Voorbeeld Gegeven zijn het verschil V = 12 en de verhouding L : N = 3 : 2. Uit A = L × V L − N volgt A = 36 en uit B = N × V L − N volgt B = 24.   Het verschil tussen B en A is inderdaad 12 en de verhouding A : B = 36 : 24 = 3 : 2.

Heath

1.   

   • Uitwerking Heath Gegeven verhouding 1 : 5 en verschil 20. Neem als kleinste x dan 5x − x = 20 dus x = 5. De gevraagde getallen zijn 25 en 5. Heath, bladzijde 132, boek 1, probleem 4 bron: T. Heath, Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra, bladzijde 132, boek 1, probleem 4

voorbeelden

1.   

   • Voorbeelden Verschil / Verhouding L/N L=7 N=6 L=6 N=5 L=5 N=4 L=4 N=3 L=7 N=5 L=3 N=2 L=8 N=5 L=5 N=3 L=7 N=4 L=9 N=5 L=9 N=4 L=7 N=3 L=5 N=2 L=8 N=3 L=7 N=2 L=9 N=2 V=2 A=14 B=12 A=12 B=10 A=10 B=8 A=8 B=6 A=7 B=5 A=6 B=4   A=5 B=3                 V=3 A=21 B=18 A=18 B=15 A=15 B=12 A=12 B=9   A=9 B=6 A=8 B=5   A=7 B=4       A=5 B=2       V=4 A=28 B=24 A=24 B=20 A=20 B=16 A=16 B=12 A=14 B=10 A=12 B=8   A=10 B=6   A=9 B=5   A=7 B=3         V=5 A=35 B=30 A=30 B=25 A=25 B=20 A=20 B=15   A=15 B=10         A=9 B=4     A=8 B=3 A=7 B=2   V=6 A=42 B=36 A=36 B=30 A=30 B=24 A=24 B=18 A=21 B=15 A=18 B=12 A=16 B=10 A=15 B=9 A=14 B=8       A=10 B=4       V=7 A=49 B=42 A=42 B=35 A=35 B=28 A=28 B=21   A=21 B=14                   A=9 B=2 V=8 A=56 B=48 A=48 B=40 A=40 B=32 A=32 B=24 A=28 B=20 A=24 B=16   A=20 B=12   A=18 B=10   A=14 B=6         V=9 A=63 B=54 A=54 B=45 A=45 B=36 A=36 B=27   A=27 B=18 A=24 B=15   A=21 B=12       A=15 B=6       V=10 A=70 B=60 A=60 B=50 A=50 B=40 A=40 B=30 A=35 B=25 A=30 B=20   A=25 B=15     A=18 B=8     A=16 B=6 A=14 B=4   V=11 A=77 B=66 A=66 B=55 A=55 B=44 A=44 B=33   A=33 B=22                     V=12 A=84 B=72 A=72 B=60 A=60 B=48 A=48 B=36 A=42 B=30 A=36 B=24 A=32 B=20 A=30 B=18 A=28 B=16 A=27 B=15   A=21 B=9 A=20 B=8       V=13 A=91 B=78 A=78 B=65 A=65 B=52 A=52 B=39   A=39 B=26                     V=14 A=98 B=84 A=84 B=70 A=70 B=56 A=56 B=42 A=49 B=35 A=42 B=28   A=35 B=21               A=18 B=4 V=15   A=90 B=75 A=75 B=60 A=60 B=45   A=45 B=30 A=40 B=25   A=35 B=20   A=27 B=12   A=25 B=10 A=24 B=9 A=21 B=6   V=16   A=96 B=80 A=80 B=64 A=64 B=48 A=56 B=40 A=48 B=32   A=40 B=24   A=36 B=20   A=28 B=12         V=17     A=85 B=68 A=68 B=51   A=51 B=34                     V=18     A=90 B=72 A=72 B=54 A=63 B=45 A=54 B=36 A=48 B=30 A=45 B=27 A=42 B=24       A=30 B=12       V=19     A=95 B=76 A=76 B=57   A=57 B=38                     V=20     A=100 B=80 A=80 B=60 A=70 B=50 A=60 B=40   A=50 B=30   A=45 B=25 A=36 B=16 A=35 B=15   A=32 B=12 A=28 B=8   V=21       A=84 B=63   A=63 B=42 A=56 B=35   A=49 B=28       A=35 B=14     A=27 B=6 V=22       A=88 B=66 A=77 B=55 A=66 B=44   A=55 B=33                 V=23       A=92 B=69   A=69 B=46                     V=24       A=96 B=72 A=84 B=60 A=72 B=48 A=64 B=40 A=60 B=36 A=56 B=32 A=54 B=30   A=42 B=18 A=40 B=16       V=25       A=100 B=75   A=75 B=50         A=45 B=20     A=40 B=15 A=35 B=10   V=26         A=91 B=65 A=78 B=52   A=65 B=39                 V=27           A=81 B=54 A=72 B=45   A=63 B=36       A=45 B=18       V=28         A=98 B=70 A=84 B=56   A=70 B=42   A=63 B=35   A=49 B=21       A=36 B=8 V=29           A=87 B=58                     V=30           A=90 B=60 A=80 B=50 A=75 B=45 A=70 B=40   A=54 B=24   A=50 B=20 A=48 B=18 A=42 B=12   V=31           A=93 B=62                     V=32           A=96 B=64   A=80 B=48   A=72 B=40   A=56 B=24         V=33           A=99 B=66 A=88 B=55   A=77 B=44       A=55 B=22       V=34               A=85 B=51                 V=35                     A=63 B=28     A=56 B=21 A=49 B=14 A=45 B=10 V=36             A=96 B=60 A=90 B=54 A=84 B=48 A=81 B=45   A=63 B=27 A=60 B=24       V=38               A=95 B=57                 V=39                 A=91 B=52       A=65 B=26       V=40               A=100 B=60   A=90 B=50 A=72 B=32 A=70 B=30   A=64 B=24 A=56 B=16   V=42                 A=98 B=56       A=70 B=28     A=54 B=12 V=44                   A=99 B=55   A=77 B=33         V=45                     A=81 B=36   A=75 B=30 A=72 B=27 A=63 B=18   V=48                       A=84 B=36 A=80 B=32       V=49                               A=63 B=14 V=50                     A=90 B=40     A=80 B=30 A=70 B=20   V=51                         A=85 B=34       V=52                       A=91 B=39         V=54                         A=90 B=36       V=55                     A=99 B=44     A=88 B=33 A=77 B=22   V=56                       A=98 B=42       A=72 B=16 V=57                         A=95 B=38       V=60                         A=100 B=40 A=96 B=36 A=84 B=24   V=63                               A=81 B=18 V=65                             A=91 B=26   V=70                             A=98 B=28 A=90 B=20 V=77                               A=99 B=22

NB: Viète heeft een voorkeur voor gehele getallen. Hij verkiest de constructie met de verhouding tussen A en B, boven de constructie met het quotiënt Q van A en B. Voor gehele Q heeft Viète niet een apart recept gegeven, maar leerlingen willen we die niet onthouden omdat de constructie met het quotiënt Q = A / B veel eenvoudiger is dan die met de verhouding tussen L en N.

zie opdracht: gegeven quotiënt Q en verschil V