substitutie

1.   

   • Opdracht Gegeven de som S en de verhouding L : N van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.	Stelsel vergelijkingen A + B = S A = L B N
     Uitwerking Uit S = A + B volgt A = S − B Uit A = L B N volgt S − B = L B N , dus N × (S − B) = L × B, dus N × S − N × B = L × B, dus N × S = L × B + N × B, dus N  × S = B × (L + N) en daarom B = N × S N + L . Uit A = S − B volgt A = S − N × S N + L , dus A = S × N + L − N × S N + L N + L , dus A =  S × N + S × L − N × S N + L , en daarom A =  L × S N + L .	Voorbeeld Gegeven zijn de som S = 60 en de verhouding L : N = 3 : 2. Uit A = L × S N + L volgt A = 36. Uit B = N × S N + L volgt B = 24.   De som van A en B is inderdaad 60 en de verhouding A : B = 36 : 24 = 3 : 2.

Heath

1.   

   • Uitwerking Heath Gegeven verhouding 1 : 3 en som 60. Neem als kleinste x dan 3x + x = 60 dus x = 15. Conclusie: de gevraagde getallen zijn 45 en 15. Heath, bladzijde 131, boek 1, probleem 2 bron: T. Heath, Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra, bladzijde 131, boek 1, probleem 2

voorbeelden

1.   

   • Voorbeelden Omdat A>B is L altijd groter dan N en dus ontbreken de voorbeelden waarin de verhouding één staat tot drie of twee staat tot vijf is. Verschil / Verhouding L:N L=7 N=6 L=6 N=5 L=5 N=4 L=4 N=3 L=7 N=5 L=3 N=2 L=8 N=5 L=5 N=3 L=7 N=4 L=9 N=5 L=9 N=4 L=7 N=3 L=5 N=2 L=8 N=3 L=7 N=2 L=9 N=2 S=14       A=8 B=6           A=9 B=5     A=10 B=4       S=15           A=9 B=6                     S=16               A=10 B=6                 S=18     A=10 B=8                       A=14 B=4   S=20           A=12 B=8           A=14 B=6         S=21       A=12 B=9                 A=15 B=6       S=22   A=12 B=10             A=14 B=8         A=16 B=6   A=18 B=4 S=24         A=14 B=10     A=15 B=9                 S=25           A=15 B=10                     S=26 A=14 B=12           A=16 B=10       A=18 B=8           S=27     A=15 B=12                       A=21 B=6   S=28       A=16 B=12           A=18 B=10     A=20 B=8       S=30           A=18 B=12           A=21 B=9         S=32               A=20 B=12                 S=33   A=18 B=15             A=21 B=12         A=24 B=9   A=27 B=6 S=35       A=20 B=15   A=21 B=14             A=25 B=10       S=36     A=20 B=16   A=21 B=15                   A=28 B=8   S=39 A=21 B=18           A=24 B=15       A=27 B=12           S=40           A=24 B=16   A=25 B=15       A=28 B=12         S=42       A=24 B=18           A=27 B=15     A=30 B=12       S=44   A=24 B=20             A=28 B=16         A=32 B=12   A=36 B=8 S=45     A=25 B=20     A=27 B=18                 A=35 B=10   S=48         A=28 B=20     A=30 B=18                 S=49       A=28 B=21                 A=35 B=14       S=50           A=30 B=20           A=35 B=15         S=52 A=28 B=24           A=32 B=20       A=36 B=16           S=54     A=30 B=24                       A=42 B=12   S=55   A=30 B=25       A=33 B=22     A=35 B=20         A=40 B=15   A=45 B=10 S=56       A=32 B=24       A=35 B=21   A=36 B=20     A=40 B=16       S=60         A=35 B=25 A=36 B=24           A=42 B=18         S=63     A=35 B=28 A=36 B=27                 A=45 B=18   A=49 B=14   S=64               A=40 B=24                 S=65 A=35 B=30         A=39 B=26 A=40 B=25       A=45 B=20           S=66   A=36 B=30             A=42 B=24         A=48 B=18   A=54 B=12 S=70       A=40 B=30   A=42 B=28       A=45 B=25   A=49 B=21 A=50 B=20       S=72     A=40 B=32   A=42 B=30     A=45 B=27             A=56 B=16   S=75           A=45 B=30                     S=77   A=42 B=35   A=44 B=33         A=49 B=28       A=55 B=22 A=56 B=21   A=63 B=14 S=78 A=42 B=36           A=48 B=30       A=54 B=24           S=80           A=48 B=32   A=50 B=30       A=56 B=24         S=81     A=45 B=36                       A=63 B=18   S=84       A=48 B=36 A=49 B=35         A=54 B=30     A=60 B=24       S=85           A=51 B=34                     S=88   A=48 B=40           A=55 B=33 A=56 B=32         A=64 B=24   A=72 B=16 S=90     A=50 B=40     A=54 B=36           A=63 B=27     A=70 B=20   S=91 A=49 B=42     A=52 B=39     A=56 B=35       A=63 B=28   A=65 B=26       S=95           A=57 B=38                     S=96         A=56 B=40     A=60 B=36                 S=98       A=56 B=42           A=63 B=35     A=70 B=28       S=99   A=54 B=45 A=55 B=44           A=63 B=36         A=72 B=27 A=77 B=22 A=81 B=18 S=100           A=60 B=40           A=70 B=30

NB: Viète heeft een voorkeur voor gehele getallen. Hij verkiest de constructie met de verhouding tussen A en B, boven de constructie met het quotiënt Q van A en B. Voor gehele Q heeft Viète niet een apart recept gegeven, maar leerlingen willen we die niet onthouden omdat de constructie met het quotiënt Q = A / B veel eenvoudiger is dan die met de verhouding tussen L en N.

zie opdracht: gegeven quotiënt Q en som S