substitutie

1.   

   • Opdracht Gegeven twee getallen X en Y, beide groter dan een onbekend getal A en de verhouding L : N van de verschillen tussen die gegeven getallen en dat onbekende getal.	Stelsel vergelijkingen X = A + V Y = A + W V = L W N
     Uitwerking Uit X = A + V volgt V = X − A. Uit Y = A + W volgt W = Y − A. Uit V = L W N volgt X − A = L Y − A N , dus (X − A) × N = (Y − A) × L, dus X × N − A × N = Y × L − A × L, dus A × L − A × N = Y × L − X × N, dus (L − N) × A = Y × L − X × N en daarom A = Y × L − X × N L − N	Voorbeeld Gegeven zijn X = 130 en Y = 145 en de verhouding L : N = 2 : 3. Uit A = Y × L − X × N L − N volgt A = 100. De verschillen zijn X − A = 130 − 100 = 30 en Y − A = 145 − 100 = 45. De verhouding tussen de verschillen is 30 : 45 = 2 : 3. Voorbeeld Viète Viète geeft twee voorbeelden. Hieronder staat het tweede. Gegeven zijn X = 60 en Y = 140 en de verhouding L : N = 1 : 3. Uit A = Y × L − X × N L − N volgt A = 20. De verschillen zijn X − A = 60 − 20 = 40 en Y − A = 140 − 20 = 120. De verhouding tussen de verschillen is 40 : 120 = 1 : 3.
     Nota bene De uitdrukking voor A is bij deze zetetic (twee getallen groter dan het onbekende getal A) gelijkwaardig aan de uitdrukking voor A bij de vorige zetetic (twee getallen kleiner dan het onbekende getal A). Toon aan dat A = Y × L − X × N L − N gelijk is aan A = X × N − Y × L N − L .

Heath

1.   

   • Uitwerking Heath Gegeven getallen 20 en 100 en verhouding 6 : 1. Neem als kleinste x dan 6(20 − x) = 100 − x dus x = 4. Het gevraagde getal is 4. Heath, bladzijde 133, boek 1, probleem 9 bron: T. Heath, Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra, bladzijde 133, boek 1, probleem 9

Frans van Schooten merkt niet op dat het eerste voorbeeld van Viète niet klopt.. In de tekst van Viète en in de tekst van van Schooten staat dat bij X = 40 en bij Y = 60 en verhouding L : N = 1 : 3 hoort dat A = 40. Het juiste antwoord moet zijn dat V = 10 en dat W = 30 en dat A = 30.