substitutie

1.   

   • Opdracht Gegeven twee getallen X en Y, de eerste groter dan een onbekend getal A, de ander kleiner en de verhouding L : N van de verschillen tussen die gegeven getallen en dat onbekende getal.

     Stelsel vergelijkingen X = A + V Y = A − W V = L W N

     Uitwerking Uit X = A + V volgt V = X − A. Uit Y = A − W volgt W = Y − A. Uit V = L W N volgt X − A = L A − Y N dus (X − A) × N = (A − Y) × L dus X × N − A × N = A × L − Y × L dus X × N + Y × L = A × L + A × N dus (L + N) × A = Y × L + X × N en daarom A = Y × L + X × N L + N

     Voorbeeld Gegeven zijn X = 130 en Y = 55 en de verhouding L : N = 2 : 3. Uit A = Y × L + X × N L + N volgt A = 100. De verschillen zijn X − A = 130 − 100 = 30 en A − Y = 100 − 55 = 45. De verhouding tussen de verschillen is 30 : 45 = 2 : 3. Voorbeeld Viète Viète geeft twee voorbeelden. Hieronder staat zijn tweede voorbeeld. Gegeven zijn X = 180 en Y = 60 en de verhouding L : N = 5 : 1. Uit A = Y × L + X × N L + N volgt A = 80. De verschillen zijn X − A = 180 − 80 = 100 en A − Y = 80 − 60 = 20. De verhouding tussen de verschillen is 100 : 20 = 5 : 1.

Heath

1.   

   • Uitwerking Heath Heath toont vergelijkbare problemen, maar geen van hen voldoet aan de opdracht. Heath, bladzijde 133, boek 1 bron: T. Heath, Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra

Frans van Schooten merkt op dat het eerste voorbeeld van Viète niet klopt, maar het tweede wel. In de tekst van Viète staat dat bij X = 180 en bij Y = 60 en verhouding L : N = 1 : 3 hoort dat V +W = 100 en dat A = 20. Frans van Schooten merkt op dat het juiste antwoord moet zijn dat V = 30 en dat W = 90 en dat V + = 120 en dat A = 150.