2-20 Zetetic

Gegeven de som S en het som van de derde machten T van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

Voorbeeld: gegeven zijn de som S = 8 en de som van de derde machten T = 152.
De gevraagde getallen zijn A = 5 en B = 3.
De som S is inderdaad 5 + 3 = 8 en de som van de derde machten T is inderdaad 53 + 33 = 152.

S,T

stelsel vergelijkingen

  1.   

    • Stelsel vergelijkingen
      A + B = S
      A3 + B3 = T

substitutie

  1.   

    • Opdracht

      Gegeven de som S en de som van de derde machten T van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

      Stelsel vergelijkingen
      A + B = S
      A3 + B3 = T

      Uitwerking

      Gegeven zijn A + B = S en A3 + B3 = T.
      Neem S3 − T.
      Omdat S3 − T = (A + B)3 − A3 − B3,
      daarom S3 − T = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 − A3 − B3,
      dus S3 − T = 3A2B + 3AB2,
      dus S3 − T = 3AB(A − B).
      Neem P = A × B,
      dan S3 − T = 3 × P × S,
      dus
      P =S3 − T
      3 S
      .
      Neem V2 = S2 − 4P,
      zodat V2 = (A + B)2 − 4AB,
      dus V2 = (A − B)2. (zie boek 2 zetetic 17)
      Uit gegeven S = A + B en uit berekend V = A − B
      volgt A = ½S + ½V (zie boek 2 zetetic 2)
      waardoor B = ½S − ½V.

      Voorbeeld

      Gegeven zijn de som S = 8
      en de som van de derde machten T = 152.
       
      Uit
      P =S3 − T
      3 S
      volgt P = 15,
      uit V2 = S2 − 4P volgt V = 2,
      uit A = ½S + ½V volgt A = 5,
      uit B = ½S − ½V volgt B = 3.
       
      De som S is inderdaad 5 + 3 = 8
      en de som van de derde machten T is inderdaad 53 + 33 = 152.