substitutie

1.   

   • Opdracht Gegeven de som van de kwadraten K en de verhouding tussen het product en het kwadraat van de verschillen R : S van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

     Stelsel vergelijkingen A2 + B2 = K A × B = R (A − B)2 S

     Uitwerking Gegeven zijn A2 + B2 = K en A × B = R (A − B)2 S . Neem P = A × B. Omdat (A − B)2 = A2 + B2 − 2AB daarom (A − B)2 = K − 2P Uit A × B = R (A − B)2 S volgt P = R K − 2P S en dus S × P = R (K − 2P) en dus S × P + 2RP = 2RK zodat (S + 2R) P = 2RK dus P = R K S + 2R . Gegeven A × B = P en A2 + B2 = K. (zie boek 2 zetetic 2) Neem S2 = K + 2P zodat S2 = A2 + 2AB + B2 = (A + B)2, waardoor A + B = S. Neem V2 = K − 2P zodat V2 = A2 − 2AB + B2 = (A − B)2, waardoor A − B = V. Hierdoor 2A = (A + B) + (A − B) = S + V en 2B = (A + B) − (A − B) = S − V, zodat A = ½S + ½V en B = ½S − ½V.

     Voorbeeld Gegeven zijn de som van de kwadraten K = 34 met K = A2 + B2 en de verhouding R : S = 15 : 4 tussen het product A × B en het kwadraat van de verschillen (A − B)2. Uit P = R K S + 2R volgt P = 15. Uit S2 = K + 2P volgt S = 8. Uit V2 = K − 2P volgt V = 2. Uit A = ½S + ½V volgt A = 5. Uit B = ½S − ½V volgt B = 3.   De som van de kwadraten K is inderdaad 52 + 32 = 34 De verhouding tussen het product, 5 × 3 , het kwadraat van de verschillen, (5 − 3)2 = 4, is inderdaad 15 : 4 is.