substitutie

1.   

   • Opdracht Gegeven het product P en het verschil V van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.	Stelsel vergelijkingen A × B = P A − B = V
     Uitwerking Gegeven A × B = P en A − B = V. Neem S = A + B met S2 = A2 + 2AB + B2. Neem V = A − B met V2 = A2 − 2AB + B2. Uit S2 − V2 = 4AB volgt S2 − V2 = 4P, dus S2 = V2 + 4P Uit S + V = (A + B) + (A − B) = 2A en uit S − V = (A + B) − (A − B) = 2B volgt A = ½S + ½V (zie boek 2 zetetic 2) volgt B = ½S − ½V.	Voorbeeld Gegeven zijn het product P = 15 en het verschil V = 2. Uit S2 = V2 + 4P volgt S = 8, uit A = ½S + ½V volgt A = 5, uit B = ½S − ½V volgt B = 3. Het product P is inderdaad 5 × 3 = 15 en het verschil V is inderdaad 5 − 3 = 3.

eliminatie

1.   

   • Eliminatie

     A · B = P A − B = V

     =

     B =  P A B = A − V

     
     dus

     A − V =	P
     A

     dus

     A2 − V A − P = 0

     etc..

Heath

1.   

   • Uitwerking Heath Gegeven verschil 4 en product 96. Neem als kleinste A − 2 en als grootste A + 2, dan A2 − 4 = 96 dus A = 10. De gevraagde getallen zijn 8 en 12. Heath, bladzijde 141, boek 1, probleem 30 bron: T. Heath, Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra, bladzijde 141, boek 1, probleem 30

voorbeelden

1.   

   • Voorbeelden

     Product / Verschil

     P=2

     P=3

     P=4

     P=5

     P=6

     P=7

     P=8

     P=9

     P=10

     P=11

     P=12

     P=13

     P=14

     P=15

     V=1

     A=2 B=1

     A=3 B=2

     A=4 B=3

     V=2

     A=3 B=1

     A=4 B=2

     A=5 B=3

     V=3

     A=4 B=1

     A=5 B=2

     V=4

     A=5 B=1

     A=6 B=2

     V=5

     A=6 B=1

     A=7 B=2

     V=6

     A=7 B=1

     V=7

     A=8 B=1

     V=8

     A=9 B=1

     V=9

     A=10 B=1

     V=10

     A=11 B=1

     V=11

     A=12 B=1

     V=12

     A=13 B=1

     V=13

     A=14 B=1

     V=14

     A=15 B=1