Meetkunde Bewijzen met Frans van Schooten: Viete Zetetic 2-5

2-5 Zetetic

Gegeven het verschil V en de som van de kwadraten K van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

Voorbeeld: gegeven zijn het verschil V = 2 en de som van de kwadraten K = 34.
De gevraagde getallen zijn A = 5 en B = 3.
Het verschil V is inderdaad 5 − 3 = 2 en de som van de kwadraten K is inderdaad 5² + 3² = 34.

V,K

Opdracht

Gegeven het verschil V en de som van de kwadraten K van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

Stelsel vergelijkingen

A − B = V

A² + B² = K

Uitwerking

Uit A − B = V en A² + B² = K
volgt K − V² = (A² + B²) − (A − B)²
dus K − V² = 2AB.
Neem S = A + B
zodat S² = (A + B)²,
dus S² = A² + 2AB + B²,
dus S² = A² − 2AB + B² +  4AB,
dus S² = (A − B)² +  4AB,
dus S² = V² +  2(K − V²),
dus S² = 2K − V².
Uit gegeven V = A − B en uit berekend S = A + B
volgt A = ½S + ½V (zie boek 2 zetetic 2)
waardoor B = ½S − ½V.

Voorbeeld

Gegeven zijn het verschil V = 2
en de som van de kwadraten K = 34.

Uit S² = 2K − V² volgt S = 8,
uit A = ½S + ½V volgt A = 5,
uit B = ½S − ½V volgt B = 3.

Het verschil V is inderdaad 5 − 3 = 2
en de som van de kwadraten K is inderdaad 5² + 3² = 34.

Eliminatie

A − B = V

A² + B² = K

B² = (A − V)²

B² = K − A²

dus

(A − V)² = K − A²

dus

2 A² − 2 V A + V² − K = 0

etc..

Voorbeelden

Verschil / Som Kwadraten

K=5

K=10

K=13

K=17

K=20

K=25

K=26

K=29

K=34

K=37

K=40

K=41

K=45

K=50

K=52

K=53

K=58

K=61

K=65

K=68

K=73

K=74

K=80

K=82

K=85

K=89

K=90

K=97

K=100

K=101

K=104

K=106

K=109

K=113

K=116

K=117

K=122

K=125

K=130

K=136

K=137

K=145

K=146

K=148

K=149

K=153

K=157

K=160

K=164

K=169

K=170

K=173

K=178

K=180

K=181

K=185

K=193

K=194

K=197

K=200

K=202

K=205

K=208

K=212

K=218

K=221

K=225

V=1

A=3
B=1

A=4
B=2

A=5
B=3

A=6
B=4

A=7
B=5

A=8
B=6

A=9
B=7

A=10
B=8

A=11
B=9

V=3

A=4
B=1

A=5
B=2

A=6
B=3

A=7
B=4

A=8
B=5

A=9
B=6

A=10
B=7

A=11
B=8

A=12
B=9

V=4

A=5
B=1

A=6
B=2

A=7
B=3

A=8
B=4

A=9
B=5

A=10
B=6

A=11
B=7

A=12
B=8

V=5

A=6
B=1

A=7
B=2

A=8
B=3

A=9
B=4

A=10
B=5

A=11
B=6

A=12
B=7

V=6

A=7
B=1

A=8
B=2

A=9
B=3

A=10
B=4

A=11
B=5

A=12
B=6

A=13
B=7

V=7

A=8
B=1

A=9
B=2

A=10
B=3

A=11
B=4

A=12
B=5

A=13
B=6

V=8

A=9
B=1

A=10
B=2

A=11
B=3

A=12
B=4

A=13
B=5

V=9

A=10
B=1

A=11
B=2

A=12
B=3

A=13
B=4

A=14
B=5

V=10

A=11
B=1

A=12
B=2

A=13
B=3

A=14
B=4

V=11

A=12
B=1

A=13
B=2

A=14
B=3

V=12

A=13
B=1

A=14
B=2

V=13

A=14
B=1