Meetkunde Bewijzen met Frans van Schooten: Viete Zetetic 2-7

2-7 Zetetic

Gegeven het verschil V en het verschil van de kwadraten D van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

Voorbeeld: gegeven zijn het verschil V = 2 en het verschil van de kwadraten D = 16.
De gevraagde getallen zijn A = 5 en B = 3.
Het verschil V is inderdaad 5 − 3 = 2 en het verschil van de kwadraten D is inderdaad 5² − 3² = 16.

V,D

Opdracht

Gegeven het verschil V en het verschil van de kwadraten D van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

Stelsel vergelijkingen

A − B = V

A² − B² = D

Uitwerking

Gegeven zijn A − B = V en A² − B² = D.
Neem S = A + B.
Omdat S · V = (A + B) (A − B)
is S · V = A² − B² = D
dus

S =	D
V

.
Uit gegeven V = A − B en berekend S = A + B
volgt A = ½S + ½V (zie boek 2 zetetic 2)
en B = ½S − ½V.

Voorbeeld

Gegeven zijn het verschil V = 2
en het verschil van de kwadraten D = 16.

Uit

S =	D
V

volgt S = 8,
uit A = ½S + ½V volgt A = 5,
uit B = ½S − ½V volgt B = 3.

Het verschil V is inderdaad 5 − 3 = 2
en het verschil van de kwadraten D is inderdaad 5² − 3² = 16.

Eliminatie

A − B = V

A² − B² = D

B² = (A − V)²

B² = A² − D

dus

(A − V)² = A² − D

dus

2 V A = V² + D

dus

A =	V² + D
2 V

B = A − V

Voorbeelden

Verschil / Verschil Kwadraten	V=2	V=3	V=4	V=5	V=6	V=7	V=8	V=9
D=1	A=3 B=1
D=12	A=4 B=2
D=15		A=4 B=1
D=16	A=5 B=3
D=20	A=6 B=4
D=21		A=5 B=2
D=24	A=7 B=5		A=5 B=1
D=27		A=6 B=3
D=28	A=8 B=6
D=32	A=9 B=7		A=6 B=2
D=33		A=7 B=4
D=35				A=6 B=1
D=36	A=10 B=8
D=39		A=8 B=5
D=40	A=11 B=9		A=7 B=3
D=44	A=12 B=10
D=45		A=9 B=6		A=7 B=2
D=48	A=13 B=11		A=8 B=4		A=7 B=1
D=51		A=10 B=7
D=52	A=14 B=12
D=55				A=8 B=3
D=56	A=15 B=13		A=9 B=5
D=57		A=11 B=8
D=60	A=16 B=14				A=8 B=2
D=63		A=12 B=9				A=8 B=1
D=64	A=17 B=15		A=10 B=6
D=65				A=9 B=4
D=68	A=18 B=16
D=69		A=13 B=10
D=72	A=19 B=17		A=11 B=7		A=9 B=3
D=75		A=14 B=11		A=10 B=5
D=76	A=20 B=18
D=77						A=9 B=2
D=80	A=21 B=19		A=12 B=8				A=9 B=1
D=81		A=15 B=12
D=84	A=22 B=20				A=10 B=4
D=85				A=11 B=6
D=87		A=16 B=13
D=88	A=23 B=21		A=13 B=9
D=91						A=10 B=3
D=92	A=24 B=22
D=93		A=17 B=14
D=95				A=12 B=7
D=96	A=25 B=23		A=14 B=10		A=11 B=5		A=10 B=2
D=99		A=18 B=15						A=10 B=1
D=100	A=26 B=24