substitutie

1.   

   • Opdracht Gegeven de som van de kwadraten K en het verschil van de derde machten U van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.	Stelsel vergelijkingen A2 + B2 = K A3 − B3 = U
     Uitwerking Neem V = A − B en P = A × B, zodat V3 = A3 − 3A2B + 3AB2 − B3 waardoor V3 = U − 3VP. omdat V2 = A2 − 2AB + B2 daarom V2 = K − 2P dus P = ½(K − V2). Hierdoor V3 = U −  3 V (K − V2) 2 dus V3 − 3VK + 2U = 0. Deze derdegraadsvergelijking laat zich niet eenvoudig uitwerken (Wikipedia). Omdat S2 = A2 + 2AB + B2 daarom S2 = K + 2P Tot slot, A = ½S + ½V en B = ½S − ½V.	Voorbeeld Gegeven zijn de som van de kwadraten K = 58 en het verschil van de derde machten U = 316. Uit V3 − 3VK + 2U = 0 dus V3 − 174V + 632 = 0 volgt V = 4 (Wolfram Alpha), uit P = ½(K − V2) volgt P = 21, uit S2 = K + 2P volgt V = 10, uit A = ½S + ½V volgt A = 7, uit B = ½S − ½V volgt B = 3.

eliminatie

1.   

   • Eliminatie

     A2 + B2 = K A3 − B3 = U

     =

     B2 = K − A2 B3 = A3 − U

     =

     B6 = K3 − 3 K2 A2 + 3 K A4 − A6 B6 = U2 − 2 U A3 + A6

      

     dus

     2 A6 − 3 K A4 − 2 U A3 + 3 K2 A2 + U2 − K3 = 0

     etc..

     Deze vergelijking is van de zesde graad.
     Het antwoord is een uitdrukking in termen van wortels van wortels.

     Wolfram Alpha

voorbeelden

1.   

   • Voorbeelden Som Kwadraten / Verschil Derde Machten K=5 K=10 K=13 K=17 K=20 K=25 K=26 K=29 K=34 K=37 K=40 K=41 K=45 K=52 K=61 K=65 K=74 K=85 K=100 K=113 K=145 K=181 U=7 A=2 B=1                                           U=19     A=3 B=2                                       U=26   A=3 B=1                                         U=37           A=4 B=3                                 U=56         A=4 B=2                                   U=61                       A=5 B=4                     U=63       A=4 B=1                                     U=91                             A=6 B=5               U=98                 A=5 B=3                           U=117               A=5 B=2                             U=124             A=5 B=1                               U=127                                   A=7 B=6         U=152                           A=6 B=4                 U=169                                       A=8 B=7     U=189                         A=6 B=3                   U=208                     A=6 B=2                       U=215                   A=6 B=1                         U=217                                         A=9 B=8   U=218                                 A=7 B=5           U=271                                           A=10 B=9 U=279                               A=7 B=4             U=296                                     A=8 B=6