Meetkunde Bewijzen met Frans van Schooten: Viete Zetetic x-12

x-12 Zetetic

Gegeven het verschil van de kwadraten D en het verschil van de derde machten U van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

Voorbeeld: gegeven zijn het verschil van de kwadraten D = 40 en het verschil van de derde machten U = 316.
De gevraagde getallen zijn A = 7 en B = 3.
Het verschil van de kwadraten D is inderdaad

7² − 3² = 40

en het verschil van de derde machten U is inderdaad

7³ − 3³ = 316.

D,U

stelsel vergelijkingen

- Stelsel vergelijkingen
  
  A² − B² = D
  
  A³ − B³ = U

substitutie

Opdracht

Gegeven het verschil van de kwadraten D en het verschil van de derde machten U van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

Stelsel vergelijkingen

A² − B² = D

A³ − B³ = U

Uitwerking

Voorbeeld

eliminatie

- Eliminatie
  
  A² − B² = D
  
  A³ − B³ = U
  
  =
  
  B² = A² − D
  
  B³ = A³ − U
  
  =
  
  B⁶ = A⁶ − 3 D A⁴ + 3 D² A² − D³
  
  B⁶ = U² − 2 U A³ + A⁶
  
  dus
  3 D A⁴ − 2 U A³ − 3 D² A² + U² + D³ = 0
  etc..
  
  Deze vergelijking is van de vierde graad.
  Wolfram Alpha

voorbeelden

Voorbeelden

Verschil Kwadraten / Verschil Derde Machten

D=3

D=5

D=7

D=8

D=9

D=11

D=12

D=13

D=15

D=16

D=17

D=19

D=20

D=21

D=24

D=27

D=28

D=32

D=33

D=35

U=7

A=2
B=1

U=19

A=3
B=2

U=26

A=3
B=1

U=37

A=4
B=3

U=56

A=4
B=2

U=61

A=5
B=4

U=63

A=4
B=1

U=91

A=6
B=5

U=98

A=5
B=3

U=117

A=5
B=2

U=124

A=5
B=1

U=127

A=7
B=6

U=152

A=6
B=4

U=169

A=8
B=7

U=189

A=6
B=3

U=208

A=6
B=2

U=215

A=6
B=1

U=217

A=9
B=8

U=218

A=7
B=5

U=271

A=10
B=9

U=279

A=7
B=4

U=296

A=8
B=6