substitutie

1.   

   • Opdracht Gegeven het quotiënt Q en het verschil van de kwadraten D van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.	Stelsel vergelijkingen A = Q B A2 − B2 = D
     Uitwerking Uit A = Q B en A2 − B2 = D volgt A = B · Q, dus (B · Q)2 − B2 = D, en dus B2 ( Q2 − 1 ) = D, daarom B2 =  D Q2 − 1 en daarom B =  D Q2 − 1 en A =  D Q2 Q2 − 1	Voorbeeld Gegeven zijn het quotiënt Q = 4 en het verschil van de kwadraten D = 135.   Uit B =  D Q2 − 1 volgt B =  135 42 − 1  = 3 en uit A = B · Q volgt A = 3 · 4 = 12.   Het quotiënt Q is inderdaad 12 = 4 3 en het verschil van de kwadraten D is inderdaad 122 − 32 = 135.

eliminatie

1.   

   • Eliminatie

     A = Q B A2 − B2 = D

     =

     A2 = B2 · Q2 A2 = B2 + D

     
      
     dus

     B2 · Q2 = B2 + D

     dus

     B2 · Q2 − B2 = D

     dus

     B2 (Q2 − 1) = D

     dus

     B2 =	D
     Q2 − 1

     en

     A = Q · B

     
      
     Het is weinig vruchtbaar om de vergelijkingen te herleiden naar de vorm A = omdat de tweede vergelijking dan wordt

     A =

     B2 + D

voorbeelden

1.   

   • Voorbeelden Quotiënt / Verschil Kwadraten Q=2 Q=3 Q=4 Q=5 Q=6 Q=7 Q=8 Q=9 Q=10 Q=11 Q=12 Q=13 Q=14 Q=15 D=1 A=2 B=1                           D=8   A=3 B=1                         D=12 A=4 B=2                           D=15     A=4 B=1                       D=24       A=5 B=1                     D=27 A=6 B=3                           D=32   A=6 B=2                         D=35         A=6 B=1                   D=48 A=8 B=4         A=7 B=1                 D=60     A=8 B=2                       D=63             A=8 B=1               D=72   A=9 B=3                         D=75 A=10 B=5                           D=80               A=9 B=1             D=96       A=10 B=2                     D=99                 A=10 B=1           D=108 A=12 B=6                           D=120                   A=11 B=1         D=128   A=12 B=4                         D=135     A=12 B=3                       D=140         A=12 B=2                   D=143                     A=12 B=1       D=147 A=14 B=7                           D=168                       A=13 B=1     D=192 A=16 B=8         A=14 B=2                 D=195                         A=14 B=1   D=200   A=15 B=5                         D=216       A=15 B=3                     D=224                           A=15 B=1