substitutie

1.   

   • Opdracht Gegeven de som van de kwadraten K en de som van de derde machten T van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.	Stelsel vergelijkingen A2 + B2 = K A3 + B3 = T
     Uitwerking Neem S = A + B en P = A × B, zodat S3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 waardoor S3 = T + 3SP. omdat S2 = A2 + 2AB + B2 daarom S2 = K  + 2P dus P = ½(S2 − K). Hierdoor S3 = T +  3 S (S2 − K) 2 dus S3 − 3SK + 2T = 0. Deze derdegraadsvergelijking met onbekende S laat zich niet eenvoudig uitwerken. Viète kon derdegraadsvergelijkingen exact oplossen met algebra Wolfram Alpha	Voorbeeld Gegeven zijn de som van de kwadraten K = 58 en de som van de derde machten T = 370. Uit S3 − 3SK + 2T = 0 dus S3 − 174S + 740 = 0 volgt S = 10 (Wolfram Alpha), uit P = ½(S2 − K) volgt P = 21, uit V2 = K − 2P volgt V = 4, uit A = ½S + ½V volgt A = 7, uit B = ½S − ½V volgt B = 3.

eliminatie

1.   

   • Eliminatie

     A2 + B2 = K A3 + B3 = T

     =

     B2 = K − A2 B3 = T − A3

     =

     B6 = K3 − 3 K2 A2 + 3 K A4 − A6 B6 = T2 − 2 T A3 + A6

      

     dus

     2 A6 − 3 K A4 − 2 T A3 + 3 K2 A2 + T2 − K3 = 0

     etc..

     Deze vergelijking is van de zesde graad.
     Het antwoord is een uitdrukking in termen van wortels van wortels.

     Wolfram Alpha

voorbeelden

1.   

   • Voorbeelden Som Kwadraten / Som Derde Machten K=5 K=10 K=13 K=17 K=20 K=25 K=26 K=29 K=34 K=37 K=40 K=41 K=45 K=50 K=52 K=53 K=58 K=61 K=65 K=68 K=73 K=74 K=80 K=82 K=85 K=89 K=90 K=97 K=100 K=106 K=113 K=117 T=9 A=2 B=1                                                               T=28   A=3 B=1                                                             T=35     A=3 B=2                                                           T=65       A=4 B=1                                                         T=72         A=4 B=2                                                       T=91           A=4 B=3                                                     T=126             A=5 B=1                                                   T=133               A=5 B=2                                                 T=152                 A=5 B=3                                               T=189                       A=5 B=4                                         T=217                   A=6 B=1                                             T=224                     A=6 B=2                                           T=243                         A=6 B=3                                       T=280                             A=6 B=4                                   T=341                                   A=6 B=5                             T=344                           A=7 B=1                                     T=351                               A=7 B=2                                 T=370                                 A=7 B=3                               T=407                                     A=7 B=4                           T=468                                           A=7 B=5                     T=513                                     A=8 B=1                           T=520                                       A=8 B=2                         T=539                                         A=8 B=3                       T=559                                                 A=7 B=6               T=576                                             A=8 B=4                   T=637                                                   A=8 B=5             T=728                                                         A=8 B=6       T=730                                               A=9 B=1                 T=737                                                 A=9 B=2               T=756                                                     A=9 B=3           T=793                                                       A=9 B=4         T=854                                                           A=9 B=5     T=855                                                             A=8 B=7   T=945                                                               A=9 B=6