Parallellogram

Uitwerking Opdracht 18

Gegeven is driehoek ABC
met punt P op zijde AB en punt Q op zijde AC waarbij |BP| = |BQ|
en punt S het snijpunt van de lijnen uit de punten P en Q loodrecht op de overstaande zijde
waarbij de punten R en T de voetpunten zijn.
Bewijs dat |PS| = |QS|.

• Gegeven is:
  • driehoek ABC
  • de punten P, Q, R, S en T waarbij |BP| = |BQ|
• Te bewijzen:
  • |PS| = |QS|

1. De driehoeken TBQ en RPB hebben beide een rechte hoek en hebben hoek B gemeenschappelijk (gegeven).
   Daarom zijn ze gelijkhoekig.
   Omdat gegeven is dat de overeenkomstige zijde even lang is, |BP| = |BQ|,
   daarom zijn beide driehoeken congruent
   en dus |PR| = |QT| en ook |BT| = |BR|.
2. Omdat |BP| = |BQ| (gegeven) en omdat |BT| = |BR| (stap 1)
   daarom |PT| = |QR|.
3. De driehoeken PTS en QRS hebben beide een rechte hoek en ook de overstaande hoek in punt S is even groot en ook de overeenkomstige zijde is even lang (stap 2),
   daarom zijn ze congruent
   dus |PS| = |QS|.
4. Conclusie: |PS| = |QS|.

☐