Deellijn

Uitwerking Opdracht 19

Gegeven is gelijkbenige driehoek ABC met top A,
met punt P op de deellijn van hoek BAC
en lijn BP snijdt zijde AC in punt Q
en lijn CP snijdt zijde AB in punt R
Bewijs dat |RB| = |QC|.

• Te bewijzen: |RB| = |QC|

1. Omdat driehoek ABC gelijkbenig is, daarom is ∠ABM = ∠ACM en |AB| = |AC|.
2. Omdat AP een deellijn is, daarom is ∠BAM = ∠CAM.
3. Omdat ∠BAM = ∠CAM (stap 2) en |AB| = |AC| (stap 1) en ∠ABM = ∠ACM (stap 1) daarom is ∆MAB congruent aan ∆MAC (ZHZ) en dus is |MB| = |MC| en ook ∠AMB = ∠AMC.
4. Omdat hoek BMC een gesterkte hoek is en ∠AMB = ∠AMC (stap 3) daarom zijn beide hoeken recht.
5. Omdat ∆BMP en ∆CMP beide rechthoekig zijn (stap 4), |MB| = |MC| (stap 3) en zijde PM gemeenschappelijk, daarom zijn beide driehoeken congruent en dus ∠MBP = ∠MCP en ook |BP| = |CP|.
6. Omdat ∠ABM = ∠ACM (stap 1) en ∠MBP = ∠MCP (stap 5) , daarom ∠RBP = ∠QCP.
7. Omdat ∠RBP = ∠QCP (stap 6) en |BP| = |CP| (stap 5) en overstaande ∠RPB = ∠QPC, daarom zijn de driehoeken BPR en CPQ congruent, en dus |RB| = |QC|.
8. Conclusie: |RB| = |QC|.

☐