Gelijkbenig Trapezium

Uitwerking Opdracht 21

Vierhoek ABCD is een gelijkbenig trapezium
met zijde AB evenwijdig aan zijde CD en |AD| = |BC|.
Punt S is het snijpunt van de diagonalen.
Bewijs dat de diagonalen even lang zijn.

• Gegeven is:
  • vierhoek ABCD
  • AB // CD
  • |AD| = |BC|
• Te bewijzen:
  • |AC| = |BD|.
• Hulplijn:
  • parallellogram EBCD valt binnen het trapezium door lijn DE evenwijdig aan lijn BC te trekken met punt E op zijde AB.

1. Omdat vierhoek EBCD een parallellogram is,
   daarom zijn de overstaande zijden even lang,
   dus is |AD| = |BC| = |DE|
   en ook zijn de overstaande hoeken even groot ∠D_3,4 = ∠B en ∠E₂ = ∠C.
2. Omdat zijde AB evenwijdig is aan zijde CD,
   daarom Z-hoeken
   en dus ∠D_3,4 = ∠E₁
   en ook ∠A_1,2 = ∠D₁
3. Omdat driehoek AED twee gelijke benen heeft
   daarom is driehoek AED gelijkbenig
   en dus zijn de basishoeken gelijk: ∠A = ∠E₁
   en dus ook ∠A_1,2 = ∠E₁ = ∠D_3,4 = ∠B_1,2 = ∠D₁ (stap 2)
4. Omdat ∠D_3,4 + ∠E₂ = 180° (parallellogram)
   en omdat ∠D₁ + ∠D_2,3,4 = 180° (gestrekte hoek)
   en omdat ∠E₁ + ∠E₂ = 180° (gestrekte hoek)
   en omdat ∠E₁ = ∠D₁ (stap 3)
   daarom ∠D_2,3,4 = ∠E₂.
5. Omdat ∠C_1,2 = ∠E₂ (parallellogram)
   daarom ∠D_2,3,4 = ∠E₂ = ∠C_1,2 (stap 4).
6. De driehoeken ADC en BCD zijn congruent (ZHZ),
   daarom zijn overeenkomstige zijden even lang
   en dus |AC| = |BD|.
7. Conclusie: de diagonalen van gelijkbenig trapezium ABCD zijn even lang.

☐