Schets bij opdracht 27
|
Uitwerking Opdracht 27
Van vierhoek ABCD is ∠B = ∠D = 90°
en |AB| = |BC|.
Op het verlengde van zijde DC aan de kant van punt C ligt punt E met
|AD| = |CE|.
Te bewijzen is dat |BD| = |BE|.
- Gegeven is:
- vierhoek ABCD
- |AB| = |BC|.
- ∠B = ∠D = 90°
- punt E in verlengde van zijde DC aan de kant van punt C
- |AD| = |CE|.
- Te bewijzen:
De constructie is een puzzel op zich.
Als je de stelling van Thales kent dat alle punten op de cirkelrand met middellijn AC
een hoek van 90° maken, dan kun je de constructie maken. Daarom zijn punt M, het midden van lijnstuk AB en de cirkelboog AC opgenomen in de werktekening.
- Omdat ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
en omdat ∠B = ∠D = 90°
daarom ∠A + ∠C = 180°
en dus is de buitenhoek in punt C gelijk aan ∠A
oftewel ∠BAD = ∠BCE.
- Omdat |AB| = |BC| (gegeven)
en omdat ∠BAD = ∠BCE (stap 1)
en omdat |AD| = |CE| (gegeven)
daarom is ∆ABD congruent aan ∆CBE,
en dus zijn de overeenkomstige zijden even lang, met name |BD| = |BE|.
- Conclusie: |BD| = |BE|.
☐
| |
