Hoogtelijnen en Deellijn

Uitwerking Opdracht 31

Gegeven is driehoek HPQ, ingesloten door een deellijn en twee hoogtelijnen van driehoek ABC.
Te bewijzen is dat twee zijden van driehoek HPQ even lang zijn.

• Gegeven is:
  • driehoek ABC
  • de deellijn uit hoek A snijdt de overstaande zijde BC in punt D
  • de hoogtelijn uit punt B snijdt de overstaande zijde AC in punt E
  • de hoogtelijn uit punt C snijdt de overstaande zijde AB in punt F
• Te bewijzen:
  • |HP| = |HQ|.

Aanpak is om aan te tonen dat driehoek HPQ gelijkbenig is vanwege gelijke basishoeken, dus dat ∠P = ∠Q. Daarvoor ga je op zoek naar gelijkvormige driehoeken.

1. De driehoeken AFQ en AEP hebben twee gelijke hoeken (gegeven)
   en zijn daarom gelijkhoekig
   en dus ∠AQF = APE.
2. De overstaande hoeken in punt P zijn even groot
   en dus ∠APE = ∠HPQ.
3. Omdat ∠AQF = ∠APE = ∠HPQ, (stap 1 en stap 2)
   daarom heeft driehoek HPQ gelijke hoeken
   dus is driehoek HPQ gelijkbenig
   en dus: |HP| = |HQ|.
4. Conclusie: |HP| = |HQ|.

☐