Schets bij opdracht 39
|
Uitwerking Opdracht 39
Gegeven is driehoek ABC met zwaartelijnen AP en BQ.
De zwaartelijnen zijn verlengd tot het dubbele: APR en BQS.
Te bewijzen is dat de punten S, C en R op één lijn liggen.
- Gegeven is:
- driehoek ABC
- zwaartelijn AP met punt P op zijde BC
- zwaartelijn BQ met punt Q op zijde AC
- lijn APR met |AP| = |PR|
- lijn BQS met |BQ| = |QS|
- Te bewijzen:
- de punten S, C en R liggen op één lijn.
Vermoeden is dat lijn SCR evenwijdig is aan lijn AB.
Evenwijdigheid valt te bewijzen met F- en Z-hoeken.
Je gaat dus op zoek naar gelijkhoekige driehoeken.
De schets suggereert dat driehoek ABC gelijkbenig is, maar die eigenschap mag niet gebruikt worden!
- Omdat lijn AP een zwaartelijn is,
daarom is punt P het midden van zijde BC
en dus |BP| = |CP|.
- Overstaande hoeken zijn even groot
en dus ∠APB = ∠CPR en ook ∠AQB = ∠CQS.
- Omdat |AP| = |PR| (gegeven)
en omdat de overstaande hoek in punt P even groot zijn (stap 2)
en omdat |BP| = |CP| (stap 1)
daarom zijn ∆APB en ∆RPC congruent (ZHZ),
en dus zijn de hoeken in de punten A en R even groot.
- Omdat ∠BAP = ∠PRC (stap 3)
daarom zijn het Z-hoeken
en dus is lijn AB evenwijdig aan lijn RC
- Evenzo zijn ∆AQB en ∆CQS congruent,
evenzo zijn de hoeken in de punten B en S even groot
en dus is lijn AB evenwijdig aan de lijn CS
- Omdat de lijnen AB, CS en RC evenwijdig zijn (stap 4 en 5)
en omdat lijn CS in het verlengde ligt van de lijn CR,
daarom is lijn SCR een rechte lijn.
- Conclusie: lijn SCR een rechte lijn.
☐
| |
