Hoogtelijnen in een driehoek

Uitwerking Opdracht 41

Van vierhoek ABCD snijden de diagonalen AC en BD elkaar in punt S. Gegeven is dat de oppervlakte van ∆ADC gelijk is aan de oppervlakte van ∆ABC.
Bewijs dat punt S het midden is van diagonaal BD.

• Gegeven is:
  • vierhoek ABCD
  • punt S is het snijpunt van de diagonalen AC en BD
  • de oppervlakte van ∆ADC is gelijk aan de oppervlakte van ∆ABC
• Te bewijzen:
  • punt S is het midden van diagonaal BD

Je moet iets met de even grote oppervlaktes doen. Je weet dat de oppervlakte van een driehoek gelijk is aan de helft van basis maal hoogte. En de hoogte is langs de hoogtelijn en die staat loodrecht op de basis. Daarom ga je de hoogtelijnen uit de punten B en D trekken en die staan loodrecht op de diagonaal AC. Uiteindelijk ga je bewijzen dat |BS| = |DS|.
Gebruik de Geogebra figuur om te onderzoeken hoe de vierhoek in elkaar zit.

1. In driehoek ACD is de hoogtelijn uit punt D het punt P,
   daarom ∠DPS = 90°.
2. In driehoek ABC is de hoogtelijn uit punt B het punt Q
   daarom ∠BQS = 90°.
3. Omdat de oppervlaktes van beide driehoeken gelijk zijn, zijn ook de hoogtelijnen even groot: |PD| = |BQ|.
4. Omdat |PD| = |BQ| (stap 3), de overstaande hoek in punt S even groot is en ∠P = ∠Q = 90° (stap 1 en stap 2),
   daarom is driehoek ACD congruent (ZHZ) aan driehoek ABC,
   dus |DS| = |BS|.
5. Omdat |DS| = |BS|
   daarom is punt S het midden van diagonaal BD.
6. Conclusie: punt S is het midden van diagonaal BD.

☐