Koordenvierhoek

Uitwerking

• Gegeven is:
  • driehoek ABC
  • de hoogtelijn uit punt C snijdt zijde AB in punt D
  • de cirkel met middelpunt M en middellijn CD snijdt zijde AC in punt E en zijde BC in punt F
• Te bewijzen:
  • vierhoek ABFE is een koordenvierhoek.

1. Omdat |CM| = |EM|
   daarom is ∆CME gelijkbenig
   dus ∠E₁ = ∠C₁
   en tophoek ∠M₁ = 180° − 2 × ∠C₁.
2. Omdat |CM| = |FM|
   daarom is ∆CMF gelijkbenig
   dus ∠F₃ = ∠C₃
   en tophoek ∠M₃ = 180° − 2 × ∠F₃.
3. Omdat |EM| = |FM|
   daarom is ∆EFM gelijkbenig
   en tophoek ∠M₂ = 360° − ∠M₁ − ∠M₃ = 2 × ∠C₁ + 2 × ∠F₃
   en basishoek ∠F₂ = 90° − ∠C₁ − ∠F₃.
4. Omdat ∠F₁ + ∠F₂ + ∠F₃ = 180° (gestrekte hoek)
   daarom ∠F₁ = 180° − ∠F₂ − ∠F₃
   dus ∠F₁ = 180° − (90° − ∠C₁ − ∠F₃) − (∠F₃)
   en dus ∠F₁ = 90° + ∠C₁.
5. In ∆ACD is de hoekensom ∠A + ∠C₁ + 90° = 180°,
   daarom ∠A = 90° − ∠C₁.
6. Omdat ∠F₁ = 90° + ∠C₁ (stap 4) en omdat ∠A = 90° − ∠C₁ (stap 5),
   daarom is in vierhoek ABFE ∠A + ∠F₁ =90° − ∠C₁ + 90° + ∠C₁
   dus ∠A + ∠F₁ = 180°.
7. Omdat ∠A + ∠F₁ = 180° (stap 6),
   daarom is vierhoek ABFE een koordenvierhoek.
8. Conclusie: vierhoek ABFE is een koordenvierhoek.

☐