Constante hoek

Uitwerking

• Gegeven is:
  • Gegeven is een cirkel met middelpunt M en de punten A en B op de cirkel.
  • Gegeven is ook punt P op de cirkel en punt X in het verlengde van lijnstuk BP met |AP| = |XP|.
• Te bewijzen:
  • laat punt P de cirkel doorlopen,
    de meetkundige plaats van punt X zijn cirkelbogen.
• Geogebra:
  • Met Geogebra krijg je het vermoeden dat afhankelijk van of punt P op de lange boog of de korte boog is, punt X op de ene of de andere cirkelboog ligt. Ook moet punt Z, het spiegelbeeld van punt X beschouwen. Nu moet je aan gevalsonderscheiding doen.

1. Omdat punt P op een cirkel ligt met koorde AB,
   daarom is ∠APB constant, zowel op de lange boog als op de korte boog.
   Op de lange boog geldt dat ∠APB = ½∠AMB (omtrekshoek) en op de korte boog geldt dat ∠APB = 180° − ½∠AMB (koordenvierhoek).
2. Omdat punt X op het verlengde ligt van lijnstuk BP
   en omdat ∠APX + ∠APB = 180° (gestrekte hoek)
   en omdat ∠APB constant is (stap 1)
   daarom is ook ∠APX constant op koorde AB.
3. Omdat |AP| = |XP| (gegeven)
   daarom is ∆APX gelijkbenig
   en dus ∠AXP = ∠XAP.
4. Omdat de tophoek van ∆APX constant is op koorde AB (stap 2),
   daarom is ook basishoek ∠AXP constant.
   en dus is ook ∠AXB constant op koorde ∠AB.
5. Als punt P samenvalt met punt A, dan valt ook punt X samen met punt A en dus is de meetkundige plaats van punt X een cirkelboog met punt A op de cirkelboog.
6. Punt Z is het spiegelbeeld van punt X in punt P met |AP| = |ZP|.
   Voor punt Z geldt dezelfde redenering, evenals voor punt P op de korte boog AB.
7. Conclusie is dat als punt P de cirkel doorloopt dat dan de meetkundige plaats van de punten X en Z vier cirkelbogen zijn en dat de punten A en B op die cirkelbogen liggen.

NB: het bewijs dat de vier cirkelbogen twee aan twee naadloos op elkaar aan sluiten gaat veel verder dan de opdracht uit het boek en wordt daarom hier niet afgemaakt.

Ook wordt hier niet ingegaan op de plaats van de middelpunten .

☐