Loodlijn op koorde

Uitwerking

Gegeven is een cirkel met middelpunt M en een punt P binnen die cirkel.
Door punt P gaan koordes AB met midden S.
Laat punt A de cirkel doorlopen.
Bewijs dat de meetkundige plaats van punt S een cirkel is.

• Gegeven is:
  • cirkel met middelpunt M
  • punt P binnen die cirkel
  • koorde AB door punt P met midden S
• Te bewijzen:
  • Laat punt A de cirkel doorlopen.
    De meetkundige plaats van punt S is een cirkel.
• Geogebra:
  • Geogebra suggereert een cirkel met middellijn MP. Dat betekent dat ∠MSP = 90°.
  • NB: Als je punt A fixeert en punt P vrij binnen de cirkel beweegt ontstaat een andere cirkel!

1. Omdat punt S het midden is van koorde AB (gegeven)
   en omdat de middelloodlijn van een koorde door het middelpunt van een cirkel gaat, (loodlijn op koorde)
   daarom is lijn MS een middelloodlijn
   en dus is ∠MSP = 90°.
   (zie opdracht 14 en 15 van hoofdstuk 5 voor het bewijs van de stelling loodlijn op koorde)
2. Punt P is deel van de meetkundige plaats, want op verbindingslijn MP staat een koorde door punt P die door de verbindingslijn middendoor gesneden wordt. In dit bijzondere geval geldt dus P = S.
3. Punt M is deel van de meetkundige plaats want de middellijn door middelpunt M en punt P is een koorde en het midden van die koorde is punt M. In dit bijzondere geval geldt dus M = S.
4. Omdat hoek MSP in ∆MSP recht is (stap 1),
   daarom ligt punt S op de cirkel met middellijn MP (Thales).
5. Conclusie is dat de meetkundige plaats van punt S een cirkel is.

☐