Gelijke hoeken

Uitwerking opdracht 3 (bijzonder geval)

• Gegeven is:
  • cirkel met middelpunt M
  • de punten A, B en C op de cirkelrand
  • de punten A en C liggen op een middellijn
• Te bewijzen:
  • ∠AMB = 2 × ∠ACB

1. Volgens de stelling van de buitenhoek is ∠M₁ = ∠B₂ = ∠C₂,
2. Omdat punt M het middelpunt is van de cirkel,
   daarom |MB| = |MC|
   dus is ∆MBC gelijkbenig met ∠B₂ = ∠C₂.
3. Omdat ∠M₁ = ∠B₂ = ∠C₂ (stap 1)
   en omdat ∠B₂ = ∠C₂ (stap 2)
   daarom ∠M₁ = 2 × ∠C₂
4. Conclusie: ∠AMB = 2 × ∠ACB.

☐

Uitwerking opdracht 3b

• Gegeven is:
  • cirkel met middelpunt M
  • de punten A, B en C op de cirkelrand
• Te bewijzen:
  • ∠AMB = 2 × ∠ACB
• Constructie:
  • punt D op de cirkelrand en op de middellijn CMD

1. Omdat DMC een middellijn is, is ∠M₁ + ∠M₂ + ∠M₃ = 180°
   oftewel ∠M₂ = 180° − ∠M₁ − ∠M₃.
2. Omdat ∠BMC = 2 × ∠D (zie bewijs bijzonder geval omtrekshoek)
   en omdat ∠AMD = 2 × ∠C₁ (idem)
   daarom ∠M₂ = 180° − 2 × ∠C₁ − 2 × ∠D
   dus ∠M₂ = 2 × (90° − ∠C₁ − ∠D)
3. Omdat in ∆BCD punt B op de cirkel ligt en zijde CD de middellijn is,
   daarom is ∆BCD rechthoekig met ∠B = 90° (omgekeerde Thales)
4. Omdat ∠B + ∠C + ∠D = 180°
   daarom ∠C + ∠D = 90°
   dus ∠C₂ = 90° − ∠C₁ − ∠D.
5. Uit (2) en (4) volgt dat ∠M₂ = 2 × ∠C₂.
6. Conclusie: ∠AMB = 2 × ∠ACB.

☐