Constante hoek

Uitwerking

Gegeven driehoek ABC met de omgeschreven cirkel met middelpunt M,
en de ingeschreven cirkel met middelpunt I,
en punt D is het snijpunt van de omgeschreven cirkel en de bissectrice van hoek C.
Bewijs dat voor ieder punt C op de omgeschreven cirkel geldt dat de meetkundige plaats van punt I de cirkel met middelpunt D is door de punten A en B.

• Gegeven is:
  • driehoek ABC met de omgeschreven cirkel en middelpunt M.
  • punt I, het middelpunt van de ingeschreven cirkel van driehoek ABC
  • punt D, het snijpunt van lijn CI met de omgeschreven cirkel
• Aanpak:
  • Eerst moet bewezen worden dat er maar één punt D is.
    Uit opdracht 29 heb je geleerd dat punt D op de middelloodlijn van koorde AB ligt zodat |AD| = |BD|. De positie van punt D hangt dus niet af van de plaats van punt C.
  • Daarna moet bewezen dat |DI| constant is en dus de straal van een cirkel.
    Uit opdracht 29 heb je geleerd dat |DA| = |DB| = |DI|
    (punt F is in die tekening overeenkomstig punt D in deze tekening.
  • NB: uit een rekenpartij waaruit blijkt dat de ene hoek de helft of het dubbele van een andere hoek is, mag met de stelling van de omtrekshoek niet beweerd worden dat het ene punt een middelpunt betreft en het andere een omtrekspunt.
• Te bewijzen:
  • De meetkundige plaats van punt I is een cirkel met middelpunt D

1. Omdat hoek C constant is op koorde AB,
   daarom ∠A + ∠B constant
   en dus is ½∠A + ½∠B ook constant
   en dus is ∠AIB constant: ∠AIB = 90° + ½∠C.
2. Omdat hoek I constant is op boog AB,
   daarom beschrijft punt I een cirkelboog op koorde AB.
3. Omdat de positie van de punten A, B en D vastligt en omdat bewezen is dat|DA| = |DB| = |DI|, daarom is |DI| constant en dus is punt D het middelpunt van de cirkel door de punten A en B met punt I op die cirkel.
4. Conclusie is dat de meetkundige plaats van punt I een cirkel is met middelpunt D.

☐