Hoogtepunt

Uitwerking

Gegeven is driehoek ABC met de omgeschreven cirkel met middelpunt M en hoogtepunt H.
Laat punt C de omgeschreven cirkel doorlopen.
Bewijs dat de meetkundige plaats van punt H een cirkel is.

• Gegeven is:
  • driehoek ABC met de omgeschreven cirkel met middelpunt M
  • hoogtepunt H
  • voetpunt D van de hoogtelijn uit A
  • voetpunt E van de hoogtelijn uit B
  • voetpunt F van de hoogtelijn uit C
• Te bewijzen:
  • de meetkundige plaats van punt H is een cirkel
• Aanpak:
  • zoek constante hoeken

1. Door punt H gaan drie hoogtelijnen van driehoek ABC.
2. In het bijzondere geval van rechthoekige driehoek ABC met ∠A = 90°
   valt punt H samen met punt A,
   dus maakt punt A deel uit van de meetkundige plaats van punt H.
3. Evenzo in het bijzondere geval van rechthoekige driehoek ABC met ∠B = 90°
   valt punt H samen met punt B,
   dus maakt punt B deel uit van de meetkundige plaats van punt H.
4. Op koorde AB is ∠C_1,2 constant (constante hoek)
   en omdat ∠D = 90° in ∆ACD (gegeven),
   daarom is ∠A₃ ook constant.
5. Evenzo in ∆BEC is ∠B₃ ook constant.
6. Omdat ∠C_1,2 constant is in ∆ABC,
   daarom is ook ∠A_3,4 + ∠B_3,4 constant.
7. Omdat ∠A₃ en ∠B₃ constant zijn (stap 4 en 5),
   en omdat ∠A_3,4 + ∠B_3,4 constant is (stap 6),
   daarom is ook ∠A₄ + ∠B₄ constant.
8. Omdat ∠A₄ + ∠B₄ constant is in ∆ABH (stap 7),
   daarom is ook ∠H_1,2 constant.
9. Omdat ∠H_1,2 constant is op koorde AB (stap 8),
   daar is de meetkundige plaats van punt H een cirkel.
10. Conclusie is dat de meetkundige plaats van punt H een cirkel is.

☐