|
- De hoeken lijken recht in punt B, maar hoeven dat niet te zijn.
- Maak een schets van een geheeltalligige driehoek ABC met een rechte hoek in punt A.
- Leg uit dat in dit geval de hoeken in punt B niet recht zijn,
- Leg ook uit dat ∆AEF niet gelijk benig is.
Tegenvoorbeeld:
Rechthoekige driehoek ABE met rechte hoek in punt A is een tegenvoorbeeld om aan te tonen dat de hoeken in punt B niet altijd recht zijn
en dat ook ∆AEF niet gelijk benig is.
Antwoord:
Als ∠A recht is, dan is ∠A1 = ∠A2,3 = 90°.
Omdat in ∆ABE de hoekensom 180° is, daarom
∠E1 + ∠B1,2 = 90°.
Omdat ∠E1 > 0°,
daarom ∠B1,2 < 90° en dus ∠B3 > 90°.
Daarom is in dit tegenvoorbeeld ∠B ≠ 90°.
Conclusie is dat de hoeken in punt B niet altijd recht zijn.
Omdat EB = BF en omdat ∠B1,2 < ∠B3,
daarom AE < AF en dus is in dit tegenvoorbeeld AE ≠ AF.
Daarom zijn de benen van ∆AEF niet even lang en dus is deze driehoek niet gelijk benig.
- Welke driehoeken zijn gelijk benig?
Antwoord:
Omdat volgens de constructie AD = AB,
daarom is ∆ADB gelijk benig met tophoek A en basishoeken B en D.
Daarom 5 zijn de de basishoeken even groot: ∠B2 = ∠D2,3.
- Welke driehoek is een vergroting van driehoek BDE?
Stelling:
Driehoeken zijn een vergroting als
►overeenkomstige zijden met dezelfde factor vermenigvuldigd zijn
►overeenkomstige hoeken even groot zijn
►twee paar overeenkomstige zijden met dezelfde factor vermenigvuldigd zijn en de ingesloten hoek even groot is.
Antwoord:
Omdat de zijden AE en FE het dubbele zijn van de zijden DE en BE en omdat ∠E de ingesloten hoek is,
daarom 4 is
∆AEF een vergroting van ∆DEB.
De vergrotingsfactor is 2. De driehoeken zijn
dus gelijkvormig.
Dus: ∠D1 = ∠A1,2
en ∠B1 = ∠F1,2
- Welke lijnen zijn evenwijdig aan elkaar?
Antwoord:
Omdat lijn EF de lijnen BD en FA snijdt onder een even grote hoek, ∠B1 = ∠F1,2 (stap 3),
dwz het zijn F-hoeken,
daarom 28 zijn de lijnen BD en FA evenwijdig aan elkaar.
Alternatief: Omdat lijn AE de lijnen BD en FA snijdt onder een even grote hoek, ∠D1 = ∠A1,2 (stap 3), daarom etc..
- Welke hoeken zijn Z-hoeken?
Antwoord: Omdat BD en AF evenwijdig zijn (stap 4), daarom 29 zijn ∠B2 en ∠A2 Z-hoeken.
- Welke hoeken zijn F-hoeken?
Antwoord: Omdat BD en AF evenwijdig zijn (stap 4), daarom 29 zijn ∠D2,3 en ∠A3 F-hoeken.
- Laat zien dat ∠A2 = ∠A3 even groot zijn en dat dus lijn AF de deellijn in ∠A is.
Antwoord: Omdat
- ∆ADB is een gelijkbenige driehoek met even grote basishoeken (stap 2): ∠B2 = ∠D2,3
- ∠D2,3 en ∠A3 zijn F-hoeken (stap 6) en dus even groot: ∠B2 = ∠D2,3 = ∠A3.
- ∠B2 en ∠A2 zijn Z-hoeken (stap 5) en dus even groot: ∠B2 = ∠D2,3 = ∠A3 = ∠A2.
- ∠A2 + ∠A3 = ∠A2,3.
Conclusie: ∠A2 = ∠A3 = ½ ∠A2,3.
- Leg uit dat de erfenis van de boer eerlijk verdeeld is
Antwoord:
De deellijn is symmetrie-as.
Gevolg is dat iedere graspol P op afstand AP van de boerderij in A
gespiegeld kan worden naar graspol Q op dezelfde afstand van die boerderij.
Daarom is de erfenis van de boer eerlijk verdeeld.
|
|
Opdracht
