Heath
In "A manual of Greek mathematics" schrijft deze Engelse professor over de geschiedenis van formules voor Pythagorese drietallen.
Google BooksDavid E. Joyce
Deze Amerikaanse professor heeft een website vol informatie en applets over de stellingen van Euclides.
Euclides en Pythagoreïsche DrietallenPythagoreïsche drietallen zijn drietallen (a,b,c) met a² + b² = c². Drietallen zijn op verschillende manieren te vinden, bijvoorbeeld door van alles te proberen, met de hand of met hulp van een computer. De oude Babyloniers en de oude Grieken, Pythagoras, Plato en Euclides kenden lang voor de jaartelling bepaalde formules. |
|
Opdracht
Bewijs met algebra dat je met het recept van Euclides altijd Pythagorese drietallen maakt.
-
Opdracht
Bewijs met algebra dat je met het recept van Euclides altijd Pythagorese drietallen maakt.
Antwoord
Gegeven a = m² − n²
en b = 2mn
Omdat a² + b² = c²
dus c² = (m² − n²)² + (2mn)²
dus c² = m4 − 2m²n² + n4 + 4m²n²
dus c² = m4 + 2m²n² + n4
dus c² = (m² + n²)²
Conclusie: c = m² + n²
Ingeschreven cirkel
Een bijzondere eigenschap van een geheeltallige rechthoekige driehoek is dat de straal van de ingeschreven cirkel ook geheeltallig is. Hieronder staan twee verschillende afleidingen om tot een formule voor de straal van de ingeschreven cirkel te komen.
Ingeschreven cirkel: loodlijnen
Het middelpunt van de ingeschreven cirkel is het snijpunt van de drie deellijnen. De drie lijnen die loodrecht op de zijden staan en door dat middelpunt gaan, verdelen de zijden in gelijke stukken.
a = x + y en b = x + z en c = y + z
Na substitutie blijkt dat x = ½(a + b − c).
In een rechthoekige driehoek geldt r = x en na substitutie ontstaat
r = ½(m² − n² + 2mn − (m² + n²)) = ½(2mn − 2n²)
Over blijft r = n(m − n)
Ingeschreven cirkel: oppervlakte
De oppervlakte O van rechthoekige driehoek ABC kan op twee manieren berekend worden:
- O = ½(a × b)
- O = ½(a × r) + ½(b × r) + ½(c × r) zodat O = r × ½(a + b + c)
- De halve omtrek wordt ook wel de semiperimeter, s, genoemd:
s = ½(a + b + c) = m² + mn = m(m + n) - Hieruit volgt dat
r = a × b = (m² − n²) × (2mn) a + b + c 2m(m + n) - Omdat (m² − n²) = (m + n)(m − n)
kan de vergelijking herschreven worden tot:r = (m + n)(m − n) × (2mn) 2m(m + n) - Deze breuk kan vereenvoudigd worden, zodat r = n(m − n)
Omdat m en n geheeltallig zijn, is het verschil dat ook en het produkt eveneens. Conclusie is dat de straal van een geheeltallige rechthoekige driehoek altijd geheeltallig is.
Euclides boek X propositie 29
Verschillende wiskundigen interpreteren het werk van Euclides op verschillende manieren.
Volgens sommigen voegt Euclides aan zijn formule een vergrotingsfactor k toe en werkt hij met factor ½.
Dan staat er:
a = ½k(m² − n²)
b = kmn
c = ½k(m² + n²)
Viète Opera Mathematica
Frans van Schooten kende het recept van Euclides voor Pythagoreïse drietallen. In 1646 publiceerde hij "Viète Opera Mathematica". Hiernaast zie je een deel van bladzijde 34 met de formules.
